[论文解读] Width-Independence Beyond Linear Objectives: Distributed Fair Packing and Covering Algorithms.

Jelena Diakonikolas, Maryam Fazel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了针对一般 α-公平打包与覆盖问题的首个宽度无关、近乎线性时间的分布式算法，实现了与线性规划（α=0）的最先进保证相匹配的改进收敛速率。通过利用近似对偶间隙框架，该工作提供了简化的分析，并提出了一种新颖的 α-公平覆盖公式化，用于公平任务分配。

ABSTRACT

Fair allocation of resources has deep roots in early philosophy, and has been broadly studied in political science, economic theory, operations research, and networking. Over the past decades, an axiomatic approach to fair resource allocation has led to the general acceptance of a class of $\alpha$-fair utility functions parametrized by a single inequality aversion parameter $\alpha \in [0, \infty]$. In theoretical computer science, the most well-studied examples are linear utilities ($\alpha = 0$), proportionally fair or Nash utilities ($\alpha = 1$), and max-min fair utilities ($\alpha ightarrow \infty$). In this work, we consider general $\alpha$-fair resource allocation problems, defined as the maximization of $\alpha$-fair utility functions under packing constraints. We give improved distributed algorithms for constructing $\epsilon$-approximate solutions to such problems. Our algorithms are width-independent, that is, their running times depend only poly-logarithmically on the largest entry of the constraint matrix, and closely match the state-of-the-art guarantees for distributed algorithms for packing linear programs -- the case $\alpha = 0.$ Previously known width-independent algorithms for $\alpha$-fair resource allocation have convergence times with much worse dependence on $\epsilon$ and $\alpha$. Our analysis leverages the Approximate Duality Gap framework of Diakonikolas and Orecchia to obtain better algorithms with a more streamlined analysis. Finally, we introduce a natural counterpart of $\alpha$-fairness for minimization problems and motivate its usage in the context of fair task allocation. This generalization yields $\alpha$-fair covering problems, for which we provide the first width-independent nearly-linear-time approximate solvers by reducing their analysis to the $\alpha < 1$ case of the $\alpha$-fair packing problem.

研究动机与目标

• 开发在打包约束下宽度无关的 α-公平资源分配分布式算法。
• 将线性规划（α=0）的最先进收敛保证扩展至一般 α-公平效用函数。
• 提出并形式化 α-公平性在最小化问题中的自然对应形式，从而导出 α-公平覆盖问题。
• 通过将 α-公平覆盖问题约化为 α<1 情况下的 α-公平打包问题，首次实现 α-公平覆盖问题的近乎线性时间近似求解器。
• 利用近似对偶间隙框架，对 α-公平算法的分析进行简化。

提出的方法

• 将 Diakonikolas 和 Orecchia 提出的近似对偶间隙框架适配于分析打包约束下的 α-公平效用最大化问题。
• 设计分布式算法，实现 ϵ-近似解，其运行时间仅关于约束矩阵中最大元素的对数多项式依赖。
• 将 α-公平覆盖问题的分析约化为 α-公平打包问题中 α<1 的情形，从而复用打包算法的收敛保证。
• 引入一种新的 α-公平覆盖目标函数，作为 α-公平打包问题的对偶对应，其动机源于公平任务分配。
• 采用基于梯度类更新规则并结合自适应步长的迭代更新机制，确保宽度无关性。
• 使用势函数论证方法来界定收敛时间，实现对 ϵ 和 α 的近最优依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出宽度无关的分布式算法，用于 α-公平打包问题，使其收敛速率与线性规划（α=0）相匹配？
• RQ2 如何将近似对偶间隙框架扩展至处理 α=0 以外的一般 α-公平效用函数？
• RQ3 α-公平性在最小化问题中的自然且有用的推广形式是什么？如何实现高效求解？
• RQ4 能否通过约化到 α-公平打包问题的 α<1 情况，实现 α-公平覆盖问题的近乎线性时间求解？
• RQ5 在宽度无关设置下，算法收敛对 ϵ 和 α 的最优依赖关系是什么？

主要发现

• 所提出的算法实现了宽度无关的收敛性，且对约束矩阵最大元素的依赖为对数多项式，与线性规划（α=0）的最佳已知界相匹配。
• 与以往的宽度无关 α-公平打包算法相比，收敛速率对 ϵ 和 α 的依赖关系得到显著改善。
• 近似对偶间隙框架使得分析过程比以往方法更加简洁且更具通用性。
• 本文首次提出 α-公平覆盖问题的公式化，为分布式系统中公平任务分配提供了原则性的建模方式。
• 通过将 α-公平覆盖问题约化为 α-公平打包问题中 α<1 的情形，首次实现了 α-公平覆盖问题的近乎线性时间宽度无关求解器。
• 算法在输入规模上近乎线性的时间内达到 ϵ-近似解，且对问题宽度仅具有对数多项式依赖。