[论文解读] Width of l^p balls

Antoine Gournay|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过 ε-嵌入到 n 维多面体中，利用 Hadamard 矩阵、Borsuk-Ulam 定理和填充半径等工具，研究了 l^p 球的 Urysohn 宽度，推导出相关界限，并对 1 ≤ p ≤ 2 时三维情况下的宽度给出了完整刻画。

ABSTRACT

We say a map f:X o Y is an \epsilon-embedding if it is continuous and the diameter of the fibres is less than \epsilon. This type of maps is used in the notion of Urysohn width (sometimes referred to as Alexandrov width), a_n(X). It is the smallest real number such that there exists an \epsilon-embedding from X to a n-dimensional polyhedron. Surprisingly few estimations of these numbers can be found, and one of the aims of this paper is to present some. Following Gromov, we take the slightly different point of view by looking at the smallest dimension n for which there exists a \epsilon-embedding to a polyhedron of dimension n. While bounds are obtained using Hadamard matrices, the Borsuk-Ulam theorem, the filling radius of spheres, and lower bounds for the diameter of sets of n+1 points not contained in a hemisphere (obtained by methods very close to those of Ivanov and Pichugov). We are also able to give a complete description in dimension 3 for 1 \leq p \leq 2.

研究动机与目标

• 估算 l^p 球的 Urysohn 宽度，这是一种几何不变量，用于衡量在 ε-嵌入下多面体目标的最小维度。
• 通过应用先进的拓扑与几何技术，扩展现有对 Urysohan 宽度的有限界限。
• 对 1 ≤ p ≤ 2 时三维空间中 l^p 球的宽度提供完整描述。

提出的方法

• 使用 ε-嵌入（连续映射的纤维直径小于 ε）的概念来定义并计算 Urysohan 宽度。
• 应用 Borsuk-Ulam 定理，通过对径点构型推导宽度的下界。
• 利用球面的填充半径来估计多面体目标的最小维度。
• 利用 Hadamard 矩阵构造显式的 ε-嵌入并推导上界。
• 分析不位于任何半球内的 n+1 个点的集合的直径，遵循 Ivanov 和 Pichugov 的方法。
• 结合拓扑与度量工具，实现对 1 ≤ p ≤ 2 时三维情况下的完整刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 1 ≤ p ≤ 2 时，l^p 球在三维空间中的 Urysohan 宽度是多少，其随 p 如何变化？
• RQ2 Borsuk-Ulam 定理和 Hadamard 矩阵如何用于界定 l^p 球的 Urysohan 宽度？
• RQ3 球面的填充半径在估计 ε-嵌入的多面体目标的最小维度中起什么作用？
• RQ4 不位于任何半球内的 n+1 个点的构型如何贡献于宽度的下界？

主要发现

• 本文对 1 ≤ p ≤ 2 时三维空间中 l^p 球的 Urysohan 宽度提供了完整描述，解决了该特定情况下的问题。
• 基于 Ivanov 和 Pichugov 的方法，通过不位于任何半球内的 n+1 个点的集合的直径，推导出宽度的下界。
• 应用 Borsuk-Ulam 定理，建立了 l^p 球宽度的非平凡下界。
• 利用 Hadamard 矩阵构造显式 ε-嵌入，从而得到宽度的上界。
• 球面的填充半径有助于估计 ε-嵌入的多面体目标的最小维度。