[论文解读] Wiener Index and Remoteness in Triangulations and Quadrangulations

Éva Czabarka, Peter Dankelmann+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Graph theory and applications参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文為 κ-連通簡單三角剖分與四邊形剖分的威納指數與偏心率建立了漸近上界，證明在三角剖分中，當 $3 \leq \kappa \leq 5$ 時，威納指數最多為 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$；在四邊形剖分中，當 $2 \leq \kappa \leq 3$ 時亦成立。本文構造了明確的圖族以達到這些上界，並提出猜測認為這些圖族實現了最大威納指數，此猜測經廣泛的計算驗證，對 5-連通三角剖分至 n=32，對 4-連通圖至 n=22 均成立。

ABSTRACT

Let $G$ be a a connected graph. The Wiener index of a connected graph is the sum of the distances between all unordered pairs of vertices. We provide asymptotic formulae for the maximum Wiener index of simple triangulations and quadrangulations with given connectivity, as the order increases, and make conjectures for the extremal triangulations and quadrangulations based on computational evidence. If $\overline{\sigma}(v)$ denotes the arithmetic mean of the distances from $v$ to all other vertices of $G$, then the remoteness of $G$ is defined as the largest value of $\overline{\sigma}(v)$ over all vertices $v$ of $G$. We give sharp upper bounds on the remoteness of simple triangulations and quadrangulations of given order and connectivity.

研究动机与目标

• 確定當頂點數 n 增加時，κ-連通簡單三角剖分與四邊形剖分的威納指數最大可能值。
• 以 n 和連通度 κ 為變數，建立威納指數的緊緻漸近上界。
• 提出並分析明確的三角剖分與四邊形剖分構造，使其匹配所推導的上界。
• 基於計算證據，猜測這些構造實現了極值威納指數與偏心率。
• 研究平面且高度連通圖中使偏心率與威納指數最大的圖的結構。

提出的方法

• 使用圖論與組合技術（包括頂點距離分佈與鄰域增長）推導威納指數的漸近上界。
• 根據 n 對 κ 取模的剩餘類，構造特定的 κ-連通三角剖分與四邊形剖分家族，並對其威納指數給出封閉表達式。
• 運用 (w,A)-扇形與邊收縮的概念，分析平面圖中的連通性與結構約束。
• 計算小階圖（至 n=32）的威納指數與偏心率，以驗證猜測並識別極值結構。
• 分析頂點偏心率與平均距離（σ(v)），定義並界定圖的偏心率為所有頂點中 σ(v) 的最大值。
• 利用已知的平面圖、三角剖分與四邊形剖分結果，包括歐拉公式與邊數約束。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於 3 ≤ κ ≤ 5 的 κ-連通簡單三角剖分，其威納指數的漸近最大值為何？
• RQ2 威納指數的上界 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 是否可在 κ-連通三角剖分中實現漸近緊緻？
• RQ3 κ-連通簡單三角剖分與四邊形剖分中的最大偏心率為何？哪些圖實現了該值？
• RQ4 基於 n mod κ 的三角剖分與四邊形剖分構造是否實現了極值威納指數與偏心率？
• RQ5 對於足夠大的 n，κ-連通三角剖分與四邊形剖分中最大威納指數是否唯一實現？

主要发现

• 任何 κ-連通簡單三角剖分（n 階）的威納指數在 $3 \leq \kappa \leq 5$ 時，漸近上界為 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$。
• 對於 4-連通簡單三角剖分，當 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 時，所構造的圖族實現威納指數 $\frac{n^3}{24} + \frac{n^2}{4} + \frac{n}{3} - 2$，匹配漸近上界，證明 κ=4 時上界為緊緻。
• 對於 5-連通簡單三角剖分，當 $n \equiv r \pmod{5}$，$r \in \{0,1,2,3,4\}$ 時，所構造的圖族實現威納指數 $\frac{n^3}{30} + \frac{3n^2}{10} - \frac{23n}{15} + c$，證明 κ=5 時漸近上界為緊緻。
• 圖的偏心率由所構造圖族中的特定頂點實現，且猜測這些圖族亦實現最大威納指數。
• 計算驗證確認，對 4-連通三角剖分至 n=22，對 5-連通三角剖分至 n=32，所猜測的極值圖均成立。
• 在四邊形剖分中，最大威納指數與偏心率猜測對足夠大的 n 唯一實現，且基於 n mod 2 的構造達到了 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 的上界（κ=2 時）。