[论文解读] Wiener Measures on Riemannian Manifolds and the Feynman-Kac Formula

B Christian, Pfaeffle, Frank|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

advanced mathematical theories参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文使用热核转移函数，在不依赖于框架丛或嵌入的前提下，于一般黎曼流形上构造了维纳测度并证明了费曼-克莱公式。它建立了随机完备性，通过柯尔莫哥洛夫-琴佐夫准则证明了路径的连续性，并表明在正规黎曼覆叠上，路径的提升与投影操作保持维纳测度不变。关键结果包括在双曲空间与欧几里得空间中路径渐近行为的比较，以及对 $L^\infty$ 位势的费曼-克莱公式。

ABSTRACT

This is an introduction to Wiener measure and the Feynman-Kac formula on general Riemannian manifolds for Riemannian geometers with little or no background in stochastics. We explain the construction of Wiener measure based on the heat kernel in full detail and we prove the Feynman-Kac formula for Schrödinger operators with $L^\infty$-potentials. We also consider normal Riemannian coverings and show that projecting and lifting of paths are inverse operations which respect the Wiener measure.

研究动机与目标

• 为具有最少随机分析背景的黎曼几何学家提供一个关于黎曼流形上维纳测度与费曼-克莱公式的自包含且易于理解的导论。
• 在不依赖于嵌入或框架丛的前提下，使用热核作为转移函数，在一般黎曼流形上构造维纳测度。
• 通过测度论方法，证明具有 $L^\infty$ 正则位势的薛定谔算符的费曼-克莱公式。
• 证明在正规黎曼覆叠上，路径的提升与投影互为逆操作，并保持维纳测度不变。
• 比较双曲空间与欧几里得空间中长时间路径行为的差异，表明由于测地球体积的指数增长，双曲空间中期望距离的增长更快。

提出的方法

• 在度量测度空间上使用热核作为转移函数，并应用柯尔莫哥洛夫构造方法定义亚随机过程。
• 应用柯尔莫哥洛夫-琴佐夫准则以确保样本路径几乎必然具有 Hölder 连续性，其依赖于热核提供的统一估计。
• 首先在紧致流形上构造维纳测度，通过加倍技巧推广至带边界的紧致流形，再通过 exhaustion 和极限过程推广至一般流形。
• 将随机完备性确立为在 $C_{x_0}([0,\infty); S)$ 上定义无限时间维纳测度的必要条件。
• 利用热核的性质定义具有固定端点路径的条件维纳测度，并在极限下证明其一致性。
• 通过雅可比场与曲率估计的几何比较论证，比较子流形与全空间中的距离，证明距离函数的渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖于嵌入或框架丛的前提下，严格构造一般黎曼流形上的维纳测度？
• RQ2 在何种条件下，热核能诱导空间上连续的随机过程？
• RQ3 在双曲空间中，布朗运动从初始点出发的期望距离在长时间尺度下的渐近行为与欧几里得空间相比如何？
• RQ4 在何种意义下，路径的提升与投影操作在正规黎曼覆叠上保持维纳测度不变？
• RQ5 能否基于热核的测度论方法，证明具有 $L^\infty$ 位势的薛定谔算符的费曼-克莱公式？

主要发现

• 对于任意黎曼流形 $S$，在 $C_{x_0}([0,T]; S)$ 上的维纳测度存在，其通过热核转移函数以及在紧致子集列（带边界）上的极限过程构造。
• 柯尔莫哥洛夫-琴佐夫准则确保所构造的过程具有几乎必然的 Hölder 连续路径，其指数满足 $\alpha < 1/2$。
• 当时间 $t \searrow 0$ 时，布朗运动从初始点出发的期望距离在欧几里得空间与双曲空间中具有相同的渐近行为。
• 当时间 $t \to \infty$ 时，由于测地球体积的指数增长，双曲空间中期望距离的增长远快于欧几里得空间。
• 在正规黎曼覆叠上，路径的提升与投影互为逆操作，并保持维纳测度不变，从而在基空间与覆叠空间之间建立了测度论上的一致性。
• 对于具有 $L^\infty$ 位势的薛定谔算符，费曼-克莱公式成立，其证明基于热核表示与逼近论证。