[论文解读] Wild character varieties, meromorphic Hitchin systems and Dynkin diagrams

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 58被引用 10

一句话总结

本文利用 Dynkin 图对野生特征丛变体和亚纯 Hitchin 系统进行分类，表明其模空间可通过分裂图作为 Nakajima quiver 变体实现。该研究推广了 Kronheimer 对 ALE 空间的构造，并将非交换 Hodge 理论与 quiver 结构联系起来，引入了 '超新星图' 与全局 Weyl 群作用，统一了等单曲率系统与乘法 quiver 变体。

ABSTRACT

The theory of Hitchin systems is something like a "global theory of Lie groups", where one works over a Riemann surface rather than just at a point. We'll describe how one can take this analogy a few steps further by attempting to make precise the class of rich geometric objects that appear in this story (including the non-compact case), and discuss their classification, outlining a theory of "Dynkin diagrams" as a step towards classifying some examples of such objects.

研究动机与目标

• 通过几何与代数结构对野生特征丛变体和亚纯 Hitchin 系统进行分类。
• 通过引入亚纯 Hitchin 系统的 '良好' 辛叶（symplectic leaves），将可积系统理论推广至非紧致情形。
• 发展 'Dynkin 图' 作为非紧致、野生特征丛变体分类工具的理论。
• 将 P1 上不规则奇点的几何与 quiver 变体及超凯勒流形联系起来。
• 通过分裂图与超新星图，将 Kronheimer 对 ALE 空间的构造推广至高维超凯勒流形。

提出的方法

• 利用 P1 上具有不规则奇点的亚纯 Higgs 纤维丛定义野生特征丛变体的模空间。
• 应用 Hitchin 映射，通过 Higgs 场的特征多项式构造可积系统。
• 从残量矩阵 Q 的特征值差中构造 '分裂图' Γ(Q)，以编码奇点类型。
• 证明模空间的开子集 M* 同构于表示空间 Rep(Γ(Q), V) 在中心作用量映射取特定值下的哈密顿约化，从而成为 Nakajima quiver 变体。
• 通过在 Γ(Q) 每个节点上附加 A 型 Dynkin 图的腿，构造 '超新星图'，推广了早期构造中的星形 quiver，并实现模形式解释。
• 利用超新星图的全局 Weyl 群，通过不同图读取方式下的同构，统一了等单曲率变形与可积系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用几何不变量对野生特征丛变体与亚纯 Hitchin 系统进行分类？
• RQ2 分裂图在将模空间实现为 quiver 变体中起到何种作用？
• RQ3 超新星图如何推广星形 quiver 并为超凯勒流形提供模框架？
• RQ4 超新星图的全局 Weyl 群如何统一等单曲率系统与可积系统？
• RQ5 这些构造如何将 Kronheimer 对 ALE 空间的分类推广至高维 ALF 超凯勒流形？

主要发现

• 野生特征丛变体的开子集 M* 通过 Rep(Γ(Q), V) 在中心作用量映射取特定值下的辛约化，同构于 Nakajima quiver 变体。
• 分裂图 Γ(Q) 由残量矩阵 Q 的特征值差构造，节点 i 与 j 之间有 deg(q_i - q_j) - 1 条边。
• 超新星图通过在 Γ(Q) 每个节点上附加 A 型 Dynkin 图的腿构成，推广了早期构造中的星形 quiver。
• 超新星图的全局 Weyl 群作为对称群，通过不同图读取方式下的同构，诱导出等单曲率系统与可积系统之间的同构。
• 该构造建立了一套新的乘法 quiver 变体理论，将非交换 Hodge 理论与 quiver 结构联系起来。
• 对于 Painlevé II 与 D0 等特定情形，开子集 M* 微分同胚于已知的超凯勒四维流形，如 Eguchi–Hanson 或 Atiyah–Hitchin 空间。