[论文解读] Wilf Equivalence for the Charge Statistic

Kendra Killpatrick|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了排列上主要指数与电荷统计量之间的双射，证明了电荷 Wilf 等价性蕴含主要指数 Wilf 等价性。通过证明当 $ n = 2^k - 1 $ 时，321-避免排列的主要指数生成函数对所有正幂次 $ q $ 的系数均为偶数（常数项除外为 1），解决了 Dokos 等人关于 2 的幂次与主要指数的猜想。

ABSTRACT

Savage and Sagan have recently defined a notion of st-Wilf equivalence for any permutation statistic st and any two sets of permutations $Π$ and $Π'$. In this paper we give a thorough investigation of st-Wilf equivalence for the charge statistic on permutations and use a bijection between the charge statistic and the major index to prove a conjecture of Dokos, Dwyer, Johnson, Sagan and Selsor regarding powers of 2 and the major index.

研究动机与目标

• 研究排列类的电荷 Wilf 等价性，特别是 $ S_3 $ 中的情形，扩展 st-Wilf 等价性的框架。
• 通过排列变换 $ f $ 建立电荷统计量与主要指数之间的联系，证明 $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $。
• 解决 Dokos、Dwyer、Johnson、Sagan 和 Selsor 提出的关于 $ n = 2^k - 1 $ 时 321-避免排列的主要指数生成函数系数偶性的猜想。
• 应用 Robinson-Schensted 对应关系及标准杨氏表的性质，分析电荷与主要指数的分布。

提出的方法

• 定义变换 $ f(\pi) = ((\pi^r)^c)^{-1} $，该变换将排列映射为排列，并满足 $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $。
• 利用 Robinson-Schensted 对应关系，将避免 321 的排列与标准杨氏表对（特别是单行与双行表）联系起来。
• 在大小为 $ 2^k - 1 $ 的双行表上构造双射 $ \phi_{2^k - 1} $，证明此类表的数量为偶数，从而推导出生成函数中计数的偶性。
• 利用 Robinson-Schensted 对应下具有相同 $ P $-表的排列具有相同电荷值的性质，实现按电荷值对排列进行分组。
• 利用变换 $ f $ 的对称性，其保持 321-避免排列并实现主要指数到电荷的映射，从而在统计量之间传递结果。
• 证明在大小为 $ 2^k - 1 $ 的 321-避免排列中，电荷为 0 的排列恰好有 1 个，其余所有电荷值均出现偶数次。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n = 2^k - 1 $ 时，321-避免排列的主要指数生成函数是否对所有正幂次 $ q $ 的系数均为偶数？
• RQ2 电荷统计量能否用于证明排列类的 Wilf 等价性结果，特别是与主要指数的关系？
• RQ3 在 $ n = 2^k - 1 $ 时，电荷统计量在 321-避免排列中的分布如何？
• RQ4 变换 $ f $ 如何在排列类中关联主要指数与电荷统计量？

主要发现

• 变换 $ f $ 满足 $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $，建立了主要指数与电荷统计量之间的直接联系。
• 当 $ n = 2^k - 1 $ 时，电荷为 0 的 321-避免排列恰好有 1 个，对应于单位排列。
• 对所有 $ i \geq 1 $，电荷生成函数 $ Ch_{2^k - 1}(321; q) $ 中 $ q^i $ 的系数为偶数。
• 大小为 $ 2^k - 1 $ 的双行标准杨氏表的数量为偶数，这是由于该集合上存在一个无不动点的对合 $ \phi_{2^k - 1} $。
• Dokos、Dwyer、Johnson、Sagan 和 Selsor 提出的猜想——即在 $ n = 2^k - 1 $ 时，321-避免排列的主要指数生成函数对 $ i \geq 1 $ 的系数为偶数——已被证明为真。
• 通过保持 321-避免性质并实现主要指数到电荷映射的双射 $ f $，该结果从电荷传递到了主要指数。