[论文解读] Williams' decomposition of the Lévy continuous random tree and simultaneous extinction probability for populations with neutral mutations

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过Lévy连续随机树的Williams分解，分析了具有中性突变的种群中祖先Eve种群与总种群同时灭绝的谱系关系。利用连续状态分支过程的探索过程与波动测度，推导出同时灭绝概率的闭式公式。

ABSTRACT

We consider an initial Eve-population and a population of neutral mutants, such that the total population dies out in finite time. We describe the evolution of the Eve-population and the total population with continuous state branching processes, and the neutral mutation procedure can be seen as an immigration process with intensity proportional to the size of the population. First we establish a Williams' decomposition of the genealogy of the total population given by a continuous random tree, according to the ancestral lineage of the last individual alive. This allows us give a closed formula for the probability of simultaneous extinction of the Eve-population and the total population.

研究动机与目标

• 使用连续随机树（CRT）框架，刻画祖先Eve种群及其中性突变后代的联合谱系。
• 将已知的关于同时灭绝概率的结果，从二次分支机制情形推广至具有无限变差的一般次临界或临界连续状态分支过程（CSBP）。
• 基于总种群中最后存活个体的祖先谱系，建立CRT的Williams分解。
• 在分支机制的一般条件下，推导出Eve种群与总种群同时灭绝的概率的闭式表达式。
• 利用波动测度与探索过程，分析具有来自Eve种群移民的CSBP中的灭绝时间与路径动力学。

提出的方法

• 使用高程过程 $ H $ 和探索过程 $ \rho_t $ 编码连续状态分支过程（CSBP）的谱系关系，扩展了Le Gall与Le Jan的框架。
• 应用典范测度 $ \mathbb{N} $ 与波动测度，描述总种群过程 $ Y $ 的分布，其中 $ \tau_Y $ 表示其灭绝时间。
• 通过最后存活个体的祖先谱系对CRT进行分解，利用最后个体出生的时间 $ T_0 $。
• 利用Laplace变换与积分方程 $ \int_{u(\lambda,t)}^{\lambda} \frac{dv}{\psi(v)} = t $ 的解 $ u(\lambda,t) $，刻画 $ Y $ 的分布。
• 通过 $ \mathbb{P}_x(\tau_Y < t) = \exp(-x \mathbb{N}[\tau_Y \geq t]) $ 推导灭绝时间分布，其中 $ c(t) = \mathbb{N}[\tau_Y \geq t] $ 满足 $ \int_{c(t)}^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} = t $。
• 使用水平 $ a $ 处的总局部时间 $ L^a $ 以及函数 $ w_m(t) $、$ w_m^*(t) $ 建模祖先谱线上种群规模的演化，最终通过沿波动路径的积分得到公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有中性突变的种群中，祖先Eve种群与总突变种群同时灭绝的概率是多少？
• RQ2 如何利用最后存活个体的祖先谱线对具有中性突变的种群谱系进行分解？
• RQ3 Lévy连续随机树的Williams分解能否应用于具有无限变差与几乎必然灭绝的一般CSBP？
• RQ4 探索过程与波动测度在刻画具有移民的CSBP中灭绝时间方面起什么作用？
• RQ5 分支机制 $ \psi $ 在具有不可逆突变的多类型CSBP中，如何影响同时灭绝概率？

主要发现

• 本文为具有无限变差与几乎必然灭绝的一般次临界或临界CSBP，建立了Eve种群与总种群同时灭绝概率的闭式表达式。
• 关键结果通过Lévy连续随机树的Williams分解得出，其中最后存活个体的祖先谱线作为分解轴。
• 同时灭绝概率被证明等于 $ w(0) $，其中 $ w(0) $ 是函数 $ w_m(0) $ 沿 $ m \to \infty $ 的极限，该函数由涉及分支机制的常微分方程组的解导出。
• 推导依赖于波动测度密度的识别以及水平 $ a $ 处局部时间的使用，最终通过沿波动路径的积分得到公式。
• 该结果将此前仅适用于二次分支机制（如 $ \psi(u) = \alpha_0 u + \beta u^2 $）的公式推广至满足 $ \int^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} < \infty $ 的全部CSBP类。
• 该方法通过使用探索过程 $ \rho_t $ 与相应的测度值马氏过程，成功处理了高程过程 $ H $ 的非马氏性质。