[论文解读] Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces I: Concentration-compactness

Jan Metzger, Glen Wheeler+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 3

一句话总结

本论文为黎曼3-流形中闭曲面的Willmore流建立了集中紧致性原理，基于初始曲率与面积的集中程度，证明了流的最大存在时间的下界。论文提出了两个寿命定理：一个适用于非正曲率的环境空间，仅依赖于曲率集中；另一个适用于一般空间，需同时控制曲率与面积集中，从而在初始数据足够小时保证长时间光滑存在。

ABSTRACT

In this paper we study the local regularity of closed surfaces immersed in a Riemannian 3-manifold flowing by Willmore flow. We establish a pair of concentration-compactness alternatives for the flow, giving a lower bound on the maximal time of existence of the flow proportional to the concentration of the curvature and area at initial time. The estimate from the first theorem is purely in terms of the concentration of curvature at initial time but applies only to ambient spaces with non-positive sectional curvature. The second requires additional information on the concentration of area at initial time but applies in more general background spaces. Applications of these results shall appear in forthcoming work.

研究动机与目标

• 通过集中紧致性原理，建立闭曲面在黎曼3-流形中Willmore流的寿命定理。
• 基于初始曲率与面积集中程度，推导Willmore流最大存在时间的下界。
• 通过引入面积集中控制，将存在性结果推广至一般黎曼环境空间，当仅靠曲率控制不足以保证时。
• 提供关于曲率与面积集中的定量估计，以保证流的长时间光滑存在。
• 将先前在欧几里得空间中关于Willmore流的结果推广至具有有界曲率与注入半径的曲率环境黎曼空间。

提出的方法

• 将Willmore流表述为平均曲率$L^2$-范数的$L^2$-梯度流，导出关于浸入映射的四阶拟线性抛物型PDE。
• 利用高阶退化拟线性抛物方程的局部存在性理论，建立流的短时间光滑存在性。
• 在环境流形中应用覆盖论证与Sobolev不等式，通过控制Ricci曲率及其至五阶导数的有界性，来控制曲率集中。
• 在环境空间中半径为$\rho$的球面上引入对第二基本形式$|A|^2$的$L^2$-范数的小性条件，以控制集中程度。
• 使用连续性论证，设最大时间$t_0$为曲率集中保持有界的时刻，若$t_0 < \text{预期寿命}$，则导出矛盾，从而证明寿命估计。
• 在一般情形下，通过引入新的控制估计（命题17）补充曲率集中，以补偿正曲率区域中Sobolev不等式失效的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定初始曲率集中，闭曲面在黎曼3-流形中Willmore流的最大存在时间为何？
• RQ2 环境流形的曲率（特别是非正截面曲率）如何影响Willmore流的寿命？
• RQ3 能否通过引入面积集中，将寿命估计推广至具有正曲率的一般黎曼3-流形？
• RQ4 在何种条件下，Willmore流可保持光滑存在时间与$\rho^4$成正比，其中$\rho$为曲率集中半径？
• RQ5 注入半径及Ricci曲率的高阶导数在Willmore流长时间存在中起何作用？

主要发现

• 对于具有非正截面曲率的黎曼3-流形，Willmore流的最大存在时间$T$满足$T /geq \frac{1}{c} \rho^4$，其中$c$仅依赖于环境度量及$\nabla^{(k)}\text{Ric}$在$k=0$至$5$时的有界性。
• 在所有$t \text{ in } [0, \frac{1}{c}\rho^4]$内，曲率集中$\rho$-球上的$|A|^2$的$L^2$-范数保持有界于$c \times \text{初始集中值}$，从而保证正则性。
• 在具有正注入半径的一般黎曼3-流形中，若初始时曲率与面积集中均足够小，则寿命下界为$T \text{ in } [0, \frac{1}{c}\rho^4]$。
• 只要初始$|A|^2$及$\rho$-球中的面积集中足够小，寿命估计对初始数据的小扰动具有鲁棒性。
• 证明依赖于曲率集中泛函的连续性与紧致性定理的矛盾论证，表明在小性假设下，有限时间爆破不可能发生。
• 寿命估计中的常数仅依赖于环境度量及Ricci曲率及其至五阶导数的$L^\frown{\text{infty}}$-范数，而不依赖于初始曲面几何的其他信息，仅与集中程度有关。