[论文解读] Wilson Fermions, Random Matrix Theory and the Aoki Phase

Gernot Akemann, P.H. Damgaard+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2010

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过有效手征拉格朗日量与随机矩阵理论，在微观领域推导出威尔逊狄拉克算符的 $\gamma_5$-厄米变体 $\gamma_5(D_W + m)$ 的谱密度的解析表达式。结果表明，$\gamma_5$-厄米性强制要求手征拉格朗日量中 $a^2$ 项的系数为正，而该正系数正是 Aoki 相变所必需的，同时验证了格点模拟中观测到的 $a/\sqrt{V}$ 量纲缩放规律。

ABSTRACT

The QCD partition function for the Wilson Dirac operator, $D_W$, at nonzero lattice spacing $a$ can be expressed in terms of a chiral Lagrangian as a systematic expansion in the quark mass, the momentum and $a^2$. Starting from this chiral Lagrangian we obtain an analytical expression for the spectral density of $γ_5 (D_W+m)$ in the microscopic domain. It is shown that the $γ_5$-Hermiticity of the Dirac operator necessarily leads to a coefficient of the $a^2$ term that is consistent with the existence of an Aoki phase. The transition to the Aoki phase is explained, and the interplay of the index of $D_W$ and nonzero $a$ is discussed. We formulate a random matrix theory for the Wilson Dirac operator with index $ν$ (which, in the continuum limit, becomes equal to the topological charge of gauge field configurations). It is shown by an explicit calculation that this random matrix theory reproduces the $a^2$-dependence of the chiral Lagrangian in the microscopic domain, and that the sign of the $a^2$-term is directly related to the $γ_5$-Hermiticity of $D_W$.

研究动机与目标

• 推导 $\gamma_5(D_W + m)$ 在微观领域的谱密度的解析表达式。
• 建立威尔逊狄拉克算符的 $\gamma_5$-厄米性与 Aoki 相变存在之间的联系。
• 构建一个针对具有拓扑指标 $\nu$ 的威尔逊狄拉克算符的随机矩阵理论（RMT），使其能重现手征拉格朗日量中的 $O(a^2)$ 项。
• 确认在 Aoki 相中，本征值分布宽度的 $a/\sqrt{V}$ 缩放规律，与格点 QCD 模拟结果一致。
• 实现通过固定 $\nu$ 的最小狄拉克本征值分布，提取低能常数 $W_8$。

提出的方法

• 基于全局对称性与 QCD 约束，构建一个含 $O(a^2)$ 项的威尔逊费米子手征拉格朗日量，其系数与 $W_8$ 成正比。
• 对所构建的手征拉格朗日量进行平均场分析，确定相变点为 $m\Sigma = 8a^2W_8$，该点标志着 Aoki 相的开始。
• 构造一个满足 $\gamma_5$-厄米性的 $D_W$ 随机矩阵系综，其中 $A$ 和 $B$ 为厄米矩阵，$C$ 为复矩阵，其高斯权重为 $P \propto e^{-N/4 \operatorname{Tr}[A^2 + B^2] - N/2 \operatorname{Tr}[WW^{\dagger}]}$，确保拓扑指标 $\nu$ 保持不变。
• 在小 $a$ 条件下，利用鞍点技术，从微观极限下的划分函数推导谱密度 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$。
• 利用 QCD 不等式证明，为与 $\gamma_5$-厄米性一致，必须有 $W_8 > 0$，从而确保 Aoki 相在物理上是允许的。
• 通过比较分析结果与格点模拟，表明顶部本征值峰的宽度与 $a/\sqrt{V}$ 成正比，与观测到的 $\sigma \propto a\sqrt{W_8 V}$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 威尔逊狄拉克算符的 $\gamma_5$-厄米性如何约束手征拉格朗日量中 $O(a^2)$ 项的符号？
• RQ2 在非零格点间距 $a$ 的微观领域中，$\gamma_5(D_W + m)$ 的谱密度 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$ 的解析形式为何？
• RQ3 在 Aoki 相中，固定 $\nu$ 的最小狄拉克本征值分布宽度如何随 $a$ 和 $V$ 缩放？
• RQ4 能否构建一个随机矩阵理论，使其能重现具有固定拓扑指标 $\nu$ 的威尔逊狄拉克算符的 $O(a^2)$ 修正手征拉格朗日量？
• RQ5 能否通过固定 $\nu$ 的 $D_5$ 本征值分布宽度，提取低能常数 $W_8$？

主要发现

• $\gamma_5$-厄米性强制要求 $W_8 > 0$，这是 Aoki 相存在的必要条件。
• $\gamma_5(D_W + m)$ 的谱密度在 $\lambda_5 = m$ 处呈现一个峰值，其宽度与 $a/\sqrt{V}$ 成正比，与格点 QCD 模拟结果一致。
• 当 $a$ 较小时，固定 $\nu$ 的最小本征值分布近似为高斯分布，其宽度为 $\sigma = \sqrt{8a^2W_8/V\Sigma^2}$，从而得到 $\sigma / \Delta\lambda \propto a\sqrt{W_8 V}$。
• 该随机矩阵理论在微观极限下能重现手征拉格朗日量中的 $O(a^2)$ 修正项，其中 $\Sigma = N/V$，$W_8 = \frac{1}{2}a^2N$。
• 在 $\nu=1$ 时，拓扑本征值密度的解析表达式为 $\rho_{5,{\rm topo}}^{\nu=1}(\lambda_5) = \frac{1}{4a\sqrt{\pi V W_8}} e^{-V\Sigma^2(\lambda_5 - m)^2/(16a^2W_8)}$，验证了 $a/\sqrt{V}$ 缩放规律。
• 本研究结果为通过测量固定 $\nu$ 时最小本征值分布的宽度，直接从格点数据中提取低能常数 $W_8$ 提供了有效方法。