[论文解读] Wilson Line Integrals in the Unparticle Action

Alexis Licht|ArXiv.org|May 25, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明，用于从规范不变的无粒子作用量推导顶点的Mandelstam导数在应用于无粒子作用量积分时在数学上不一致。论文提出了一种基于威尔逊线显式端点依赖关系的普通导数的正确方法，并证明只有直线路径能同时保持无粒子作用量中的庞加莱对称性和标度对称性，从而解决了规范不变无粒子相互作用表述中的一个关键歧义。

ABSTRACT

We consider the unparticle action that is made gauge invariant by inclusion of an open Wilson line factor. In deriving vertexes from such an action it has been customary to use a form of differentiating the Wilson line originally proposed by Mandelstam. Using a simple example, we show that the Mandelstam derivative is mathematically inconsistent. We show that there are two ways to define differentiation of the Wilson line. The mathematically consistent method is to differentiate the explicit dependence of the line on the endpoint. The other method is a functional derivative and corresponds in a limiting case to the Mandelstam derivative. We also show that the only path that can be used in the Wilson line integral that leaves the unparticle action both Poincare and scale invariant is the straight line.

研究动机与目标

• 识别并解决在利用Mandelstam导数推导无粒子-规范场顶点时存在的数学不一致问题。
• 在无粒子场论背景下，建立对开放威尔逊线进行微分的数学一致方法。
• 确定在规范化的无粒子作用量中同时保持庞加莱对称性和标度对称性的唯一路径。
• 阐明Mandelstam导数与路径依赖威尔逊线的泛函导数之间的关系。

提出的方法

• 通过显式微分威尔逊线对端点x的依赖关系，使用x与y之间的参数化路径，推导出威尔逊线的正确普通导数。
• 在具有均匀磁场的可解阿贝尔规范模型中，比较使用普通导数与Mandelstam导数进行分部积分的结果。
• 引入一种泛函导数形式，推广威尔逊线对路径函数ζ(x,y,λ)的依赖关系，表明Mandelstam导数是其极限情况。
• 对路径函数ζ施加标度和洛伦兹对称性约束，推导出路径对x、y和λ依赖关系的微分方程。
• 利用标度和空间平移对称性，推导出对路径函数的约束，得出只有直线路径能同时满足这两种对称性。
• 在二维平面中使用高斯波函数进行显式计算，比较普通导数、Mandelstam导数与直接积分的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Mandelstam导数应用于涉及无粒子作用量的积分时，其数学上是否一致？
• RQ2 在无粒子作用量中，微分威尔逊线的正确方式是什么，以保持规范不变性和一致性？
• RQ3 在威尔逊线积分中，哪条路径能同时保持无粒子作用量中的庞加莱对称性和标度对称性？
• RQ4 Mandelstam导数与路径函数ζ的泛函导数之间有何关系？
• RQ5 能否在不使用威尔逊线积分的情况下构造出规范不变的无粒子作用量？

主要发现

• Mandelstam导数在无粒子作用量积分中导致不一致结果，这在可解阿贝尔模型中通过Mandelstam导数分部积分与直接积分之间的差异得到证明。
• 威尔逊线的正确导数是关于端点x的普通导数，该方法在分部积分中可产生一致结果。
• Mandelstam导数是路径函数ζ的泛函导数的一个特例，仅在极限情况下成立，不适用于评估无粒子作用量。
• 只有x与y之间的直线路径能同时保持无粒子作用量中的庞加莱对称性和标度对称性，这符合由标度和平移不变性推导出的对称性约束。
• 路径函数必须满足 f(u,v,w,λ)x^μ + g(u,v,w,λ)y^μ = λx^μ + (1−λ)y^μ，这意味着参数化必须是线性的、直线的。
• 条件f+g=1以及对u、v、w的偏导数为零，迫使f和g仅依赖于λ，从而确认直线路径是唯一解。