[论文解读] Wilson-Loop Characterization of Inversion-Symmetric Topological Insulators

A. Alexandradinata, Xi Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用 3

一句话总结

本文为一维和二维反演对称拓扑绝缘体建立了 $η^{–}$ 分类，引入了一种仅由反演对称性保护的相对绕数 $W$。通过威尔逊环和贝里相位，它识别出一种类似于时间反演对称系统中 $ν_{2}$ 不变量的拓扑不变量，其中 $W$ 被量化为非负整数，并由高对称动量处的反演本征值确定。

ABSTRACT

The ground state of translationally-invariant insulators comprise bands which can assume topologically distinct structures. There are few known examples where this distinction is enforced by a point-group symmetry alone. In this paper we show that 1D and 2D insulators with the simplest point-group symmetry - inversion - have a $Z^{\geq}$ classification. In 2D, we identify a relative winding number that is solely protected by inversion symmetry. By analysis of Berry phases, we show that this invariant has similarities with the first Chern class (of time-reversal breaking insulators), but is more closely analogous to the $Z_2$ invariant (of time-reversal invariant insulators). Implications of our work are discussed in holonomy, the geometric-phase theory of polarization, the theory of maximally-localized Wannier functions, and in the entanglement spectrum.

研究动机与目标

• 识别仅由点群对称性保护的反演对称绝缘体中的拓扑不变量。
• 为仅具有反演对称性的 1D 和 2D 拓扑绝缘体建立分类方案。
• 使用威尔逊环和贝里相位定义并表征一种新的拓扑不变量——相对绕数 $W$。
• 将拓扑结构与几何相位、极化以及瓦尼尔函数局域化联系起来。

提出的方法

• 该研究采用威尔逊环作为规范不变的holonomy，探测动量空间中被占据能带的拓扑结构。
• 分析布里渊区内闭合路径上威尔逊环的本征谱，重点关注因反演对称性而固定在 $-1$ 的本征值。
• 相对绕数 $W$ 定义为沿路径的威尔逊环本征值相位绕数的净变化，被量化为非负整数。
• 利用反演对称性动量点（$k=0,\pi$）处的对称性约束，通过这些点处奇宇称能带的数量来计算 $W$。
• 建立了 $W$ 与陈数 $C_1$ 之间的对偶性，表明 $W$ 在保持反演对称性的连续形变下是鲁棒的。
• 分析被扩展至瓦尼尔中心轨迹，通过对称性和规范不变性证明 $W$ 在 $k_x$ 和 $k_y$ 方向上具有各向同性。

Figure 1: Non-Abelian Berry phases for four distinct insulators. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; we track the real-space trajectories of the phases (blue circles) in $\hat{x}$ as momentum $k_{y}$ is varied through two adiabatic cycles. (a) An insula

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为仅由点群对称性保护的反演对称绝缘体定义一个拓扑不变量？
• RQ2 1D 和 2D 反演对称绝缘体中的拓扑不变量的本质是什么？它与时间反演破缺或时间反演不变系统中的不变量有何不同？
• RQ3 相对绕数 $W$ 如何与威尔逊环本征值谱以及高对称点处的反演本征值相关联？
• RQ4 能否用几何相位和瓦尼尔函数局域化来表达拓扑分类？
• RQ5 绕数 $W$ 在绝热演化下是否保持不变？在保持反演对称性的微扰下是否具有鲁棒性？

主要发现

• 本文为一维和二维反演对称拓扑绝缘体建立了 $\mathbb{Z}^{\geq}$ 分类，其中不变量 $N_{(-1)}$ 计数了固定在 $-1$ 的威尔逊环本征值数量。
• 相对绕数 $W$ 被识别为仅由反演对称性保护的拓扑不变量，被量化为非负整数。
• 不变量 $W$ 由 $k=0$ 和 $k=\pi$ 处奇宇称能带数量的差值决定，当不存在复共轭对时，$W = \left| n_{(-)}(\pi) - n_{(-)}(0) \right|$。
• 相对绕数 $W$ 被证明具有各向同性：沿 $k_x$ 或 $k_y$ 路径计算时结果相同，这是由于反演与时间反演对称性共同作用的结果。
• 在 $k=0$ 和 $k=\pi$ 处的威尔逊环本征值谱完全决定了拓扑不变量，将其与被占据能带的对称性表示联系起来。
• 发现不变量 $W$ 与时间反演不变系统中的 $\mathbb{Z}_2$ 不变量类似，而非陈数，这是由于其仅在反演对称性下即具有鲁棒性。

Figure 2: The Wannier center flows for a 2D insulator with ${\cal I}$ symmetry. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; the positions of the primary sites are indicated by black dots. The ground state contains two occupied bands, hence there are two Wannier