[论文解读] Wind Finslerian structures: from Zermelo's navigation to the causality of spacetimes

Erasmo Caponio, Miguel Ángel Javaloyes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Differential Geometry Research被引用 7

一句话总结

本文引入了风Finsler结构——Finsler与Kropina度量的推广——其中指标集不一定包含原点，从而实现了对任意时不变风下Zermelo导航问题的统一建模，以及具有非零Killing向量场（SSTK时空）的因果结构建模。关键贡献在于建立了最优控制（导航）与时空因果性之间的对偶性，通过两个锥形Finsler度量 $F$ 和 $F_l$ 实现，使得在两种情境下均可对因果未来、视界和测地线进行共形不变描述。

ABSTRACT

The notion of wind Finslerian structure is developed; this is a generalization of Finsler metrics where the indicatrices at the tangent spaces may not contain the zero vector. In the particular case that these indicatrices are ellipsoids, called here wind Riemannian structures, they admit a double interpretation which provides: (a) a model for classical Zermelo's navigation problem even when the trajectories of the moving objects (planes, ships) are influenced by strong winds or streams, and (b) a natural description of the causal structure of relativistic spacetimes endowed with a non-vanishing Killing vector field (SSTK splittings), in terms of Finslerian elements. These elements can be regarded as conformally invariant Killing initial data on a partial Cauchy hypersurface. The wind Finslerian structure is described in terms of two (conic, pseudo) Finsler metrics, one with a convex indicatrix and the other with a concave one. However, the spacetime viewpoint for the wind Riemannian case gives a useful unified viewpoint. A thorough study of the causal properties of such a spacetime is carried out in Finslerian terms. Randers-Kropina metrics appear as the Finslerian counterpart to the case of an SSTK when the Killing vector field is either timelike or lightlike. Among the applications, we obtain the solution of Zermelo's navigation with arbitrary stationary wind, metric-type properties (distance-type arrival function, completeness, existence of minimizing, maximizing or closed geodesics), as well as description of spacetime elements (Cauchy developments, black hole horizons) in terms of Finslerian elements in Killing initial data. A general Fermat's principle of independent interest for arbitrary spacetimes, as well as its applications to SSTK spacetimes and Zermelo's navigation, are also provided.

研究动机与目标

• 开发一种几何框架——风Finsler结构——其为Finsler与Kropina度量的推广，允许指标集不包含原点，从而实现对非对称、受风影响的动力学建模。
• 建立Zermelo导航问题（风场影响下的最优路径规划）与具有时间类Killing向量场的时空因果结构（SSTK时空）之间的对偶性。
• 通过柯西超曲面上Killing初始数据导出的Finsler对象，描述时空因果要素（如柯西发展、视界与光型测地线）。
• 将Fermat原理推广至任意时空，并将其应用于SSTK时空与Zermelo导航，获得极值路径的变分表征。
• 对风Riemann结构与Randers-Kropina结构中的测地线、完备性及最小化/最大化曲线的存在性提供完整刻画。

提出的方法

• 在向量空间上引入风闵可夫斯基结构，由两个锥形Finsler度量定义：$F$（凸性，正齐次）与 $F_l$（凹性，类洛伦兹型），分别对应定义域 $A$ 与 $A_l$。
• 在流形上定义风Finsler结构为局部风闵可夫斯基结构的并集，关联风曲线、风长度 $\ell_F$ 与风球 $B^\pm_\Sigma$。
• 通过 $F$-可允许曲线上的变分原理刻画测地线，其中极值预测地线被定义为到达时间泛函 $T$ 的临界点。
• 建立风测地线与锥形伪Finsler度量 $F$ 和 $F_l$ 的测地线之间的联系，证明在适当正则性条件下风测地线对应于 $F$-测地线。
• 为任意时空构造广义Fermat原理，证明极值到达曲线（最小化或最大化时间）在关联的洛伦兹-Finsler结构中对应于光型测地线。
• 利用 $F$ 与 $F_l$ 之间的对偶性，从柯西超曲面上的Finsler数据推导出时空因果性质（如时间顺序、全局双曲性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用不包含原点的指标集的Finsler几何，重新表述任意时不变风场下的Zermelo导航问题？
• RQ2 风Finsler结构在何种方式下实现了SSTK时空因果结构的共形不变描述？
• RQ3 风Finsler结构 $\Sigma$ 的测地线与关联的锥形Finsler度量 $F$ 和 $F_l$ 的测地线之间存在何种关系？
• RQ4 Fermat原理如何推广至任意时空？其在SSTK时空与Zermelo导航中如何应用？
• RQ5 风Riemann结构在何种条件下存在最小化、最大化或闭合测地线？其与时空柯西发展及 $K$-视界的关系为何？

主要发现

• 风Finsler结构由两个锥形Finsler度量完全刻画：$F$（凸性，Finsler型）与 $F_l$（凹性，类洛伦兹型），其中 $F_l$ 编码了SSTK时空的因果结构。
• 本文证明了广义Fermat原理：Zermelo导航中的极值到达曲线与SSTK时空中的光型测地线，在 $F$ 与 $F_l$ 的对偶性下等价。
• 对于风Riemann结构（椭球指标集），本文建立了完备性、最小化与最大化测地线的存在性，以及类似Hopf-Rinow的性质。
• SSTK时空中的因果阶梯（时间类、因果类、非因果类）通过与 $F$ 关联的分离函数 $d_F$ 描述，对Randers-Kropina度量给出了连续性与正则性结果。
• 时空中的柯西发展与 $K$-视界通过从Killing初始数据导出的Finsler元素描述，为这些因果边界提供了新的几何解释。
• 本文给出了以 $F$-距离函数表示的全局双曲性精确判据，并在适当正则性条件下建立了Randers-Kropina分离函数的可微性。