[论文解读] (Wireless) Scheduling, Graph Classes, and c-Colorable Subgraphs.

Matthias Bentert, René van Bevern+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文研究了在归纳归纳 $k$-独立图这一类与避免干扰的无线调度相关的图上，最大 $c$-可着色子图问题的参数化复杂性。证明了在 2-单纯 3-多面体上独立集问题是 W[1]-难的，但展示了在边并的簇图与弦图的并集上，一般 $c$-可着色子图问题具有固定参数可追踪性，以解的大小为参数。

ABSTRACT

Inductive inductive $k$-independent graphs are a generalization of chordal graphs and have recently been advocated in the context of interference-avoiding wireless communication scheduling. The NP-hard problem of finding maximum-weight induced $c$-colorable subgraphs, which is a generalization of finding maximum independent sets, naturally occurs when selecting $c$ sets of pairwise non-conflicting jobs (modeled as graph vertices). We investigate the parameterized complexity of this problem on inductive inductive $k$-independent graphs. We show that the Independent Set problem is W[1]-hard even on 2-simplicial 3-minoes---a subclass of inductive 2-independent graphs. On the contrary, we prove that the more general Maximum $c$-Colorable Subgraph problem is fixed-parameter tractable on edge-wise unions of cluster and chordal graphs, which are 2-simplicial. In both cases, the parameter is the solution size. Aside from this, we survey other graph classes between inductive inductive 1-independent and inductive inductive 2-independent graphs with applications in scheduling.

研究动机与目标

• 分析在归纳归纳 $k$-独立图中寻找最大权诱导 $c$-可着色子图的参数化复杂性。
• 确定 $c$-可着色子图问题在与无线通信调度相关的归纳归纳图特定子类上是否仍具有可追踪性。
• 通过识别影响参数化复杂性的结构特性，厘清可追踪与不可追踪情况之间的边界。
• 调查归纳归纳 1-独立图与 2-独立图之间的中间图类，其在调度中具有潜在应用。

提出的方法

• 作者采用参数化复杂性理论，聚焦于以解的大小为参数，分析最大 $c$-可着色子图问题的难易程度与可追踪性。
• 通过从已知的 W[1]-难问题约化，证明了在 2-单纯 3-多面体（归纳 2-独立图的一个子类）上独立集问题是 W[1]-难的。
• 在可追踪性方面，他们证明了在边并的簇图与弦图上具有固定参数可追踪性，利用了这些图的结构特性。
• 他们采用 $k$-独立性的归纳定义，并通过单纯点与分解技术分析图类。
• 本研究依赖图论特征化，包括 $k$-单纯性与 $k$-独立性，对图族进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边并的簇图与弦图上，最大 $c$-可着色子图问题是否具有固定参数可追踪性？
• RQ2 在 2-单纯 3-多面体（归纳 2-独立图的一个子类）上，独立集问题的参数化复杂性如何？
• RQ3 在归纳归纳 1-独立图与 2-独立图之间的哪些图类可支持高效的调度算法？
• RQ4 如 $k$-单纯性与 $k$-独立性等结构特性如何影响 $c$-可着色子图问题的复杂性？

主要发现

• 在 2-单纯 3-多面体（归纳 2-独立图的一个子类）上，独立集问题是 W[1]-难的，表明在此设定下存在固有的不可追踪性。
• 在边并的簇图与弦图上，最大 $c$-可着色子图问题具有固定参数可追踪性，这些图是 2-单纯图。
• 尽管特殊情形（独立集问题）是 W[1]-难的，该可追踪性结果仍然成立，表明这两个问题之间存在复杂性差距。
• 本研究识别并调查了在归纳归纳 1-独立图与 2-独立图之间的中间图类，这些图类在无线调度中具有潜在应用。