[论文解读] Word hyperbolic extensions of surface groups

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 12, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 67

一句话总结

本文建立了当一个曲面基本群 $\pi_1(S)$ 的有限生成扩张群 $\Gamma$ 满足何种几何条件时为字双曲群的判别准则：该扩张群为双曲群当且仅当 $\Gamma$ 在曲线复形 ${\mathcal{C}}(S)$ 上的作用是拟等距嵌入。该结果通过商群在曲线复形上的动力学行为刻画了双曲扩张群，推广了关于映射类群作用下凸余紧性与双曲性的早期工作。

ABSTRACT

Let S be a closed surface of genus at least 2. We show that a finitely generated group G which is an extension of the fundamental group H of S is word hyperbolic if and only the orbit map of the quotient group G/H on the complex of curves is a quasi-isometric embedding.This in turn is equivalent to G/H being convex cocompact in the sense of Farb and Mosher.

研究动机与目标

• 刻画当一个闭曲面 $S$（亏格 $g \geq 2$）的基本群 $\pi_1(S)$ 的有限生成扩张群 $\Gamma_S$ 为字双曲群的条件。
• 将 $\Gamma_S$ 的双曲性与商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ 在曲线复形 ${\mathcal{C}}(S)$ 上的几何作用联系起来。
• 通过进入曲线复形的轨道映射，建立双曲性的必要且充分条件。
• 推广并统一 Farb-Mosher 与 Mosher 关于凸余紧性与双曲扩张群的研究成果。

提出的方法

• 将曲线复形 ${\mathcal{C}}(S)$ 视为边长为 1 的 Gromov 双曲度量空间，并赋予其测地线度量。
• 定义轨道映射 $\varphi \mapsto \varphi \cdot \alpha$（$\alpha \in {\mathcal{C}}(S)$），并分析其拟等距嵌入性质。
• 应用映射类群 ${\mathcal{M}}_g^0$ 中的凸余紧性概念，即轨道映射为进入 ${\mathcal{C}}(S)$ 的拟等距嵌入。
• 利用 $\Gamma_S$ 为双曲群仅当同态 $\rho: \Gamma \to {\mathcal{M}}_g^0$ 的核为有限群的性质，从而将问题约化为 ${\mathcal{M}}_g^0$ 的子群问题。
• 在拟测地线空间 $\Theta{\mathcal{C}}{\mathcal{G}}$ 上构造理想双曲三角形的纤维丛，并证明其为一致拟等距嵌入且一致双曲。
• 应用引理 3.3 与推论 3.6 验证该纤维丛的双曲性，并利用此结果验证曲线系统满足 $\Gamma_S$ 双曲性所需的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个有限生成扩张群 $\Gamma_S$ 是字双曲群？
• RQ2 商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ 的何种几何条件可保证 $\Gamma_S$ 的双曲性？
• RQ3 商群 $\Gamma$ 在曲线复形 ${\mathcal{C}}(S)$ 上的作用如何与扩张群 $\Gamma_S$ 的双曲性相关？
• RQ4 是否能通过进入 ${\mathcal{C}}(S)$ 的轨道映射刻画 $\Gamma < {\mathcal{M}}_g^0$ 的凸余紧性？
• RQ5 ${\mathcal{M}}_g^0$ 的每个凸余紧子群是否均为拟自由群？$\Gamma$ 的 Gromov 边界在此中起何作用？

主要发现

• 扩张群 $\Gamma_S$ 为字双曲群当且仅当轨道映射 $\varphi \mapsto \varphi \cdot \alpha$ 是进入曲线复形 ${\mathcal{C}}(S)$ 的拟等距嵌入。
• 为使 $\Gamma_S$ 为双曲群，商群 $\Gamma = \Gamma_S / \pi_1(S)$ 必须作为扩展映射类群 ${\mathcal{M}}_g^0$ 的凸余紧子群作用。
• $\Gamma_S$ 为双曲群当且仅当同态 $\rho: \Gamma \to {\mathcal{M}}_g^0$ 的核为有限群，且 $\Gamma$ 在 ${\mathcal{M}}_g^0$ 中为凸余紧子群。
• 在拟测地线空间 $\Theta{\mathcal{C}}{\mathcal{G}}$ 上构造的理想双曲三角形纤维丛为一致 $\delta_0$-双曲，其中 $\delta_0 > 0$ 为某绝对常数。
• 通过边界上理想三角形构造的曲线系统 $c(x,y)$ 为一致拟等距嵌入，并满足使 $\Gamma_S$ 为双曲群所必需的双曲性条件。
• $\Gamma$ 的 Gromov 边界 $\partial\Gamma$ 嵌入到唯一遍历的投影测度 lamination 集合 ${\mathcal{U}}{\mathcal{E}} \subset {\mathcal{P}}{\mathcal{M}}{\mathcal{L}}$ 中；若 ${\mathcal{U}}{\mathcal{E}}$ 为完全不连通集，则 $\Gamma$ 为拟自由群。