[论文解读] Word-representability of triangulations of rectangular polyomino with a single domino tile

Marc Glen, Sergey Kitaev|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry被引用 6

一句话总结

本文将单词可表示图的刻画扩展至包含单张多米诺骨牌的矩形多格多边形的三角剖分，证明此类三角剖分是单词可表示的当且仅当其是3-可图着色的。作者通过识别12个非等价的极小非3-可图着色且非单词可表示的图，推广了先前针对1×1格子多格多边形的结果，表明非3-可图着色性意味着存在此类禁止子图，从而确立了等价性。

ABSTRACT

A recent elegant result of Akrobotu et al. states that a triangulation of any convex polyomino is word-representable if and only if it is 3-colorable. In this paper, we generalize a particular case of this result by showing that the result of Akrobotu et al. is true even if we allow a domino tile, instead of having just $1\ imes 1$ tiles on a rectangular polyomino.

研究动机与目标

• 将已知的在三角剖分凸多格多边形中单词可表示图的刻画扩展至包含单张多米诺骨牌的情况。
• 研究当在矩形多格多边形中引入1×2或2×1多米诺骨牌时，3-可图着色条件是否仍是单词可表示性的必要且充分条件。
• 识别并分类此类三角剖分中可能出现的所有极小非3-可图着色且非单词可表示的图。
• 将先前针对1×1格子多格多边形所用的结构化方法推广，以适应多米诺骨牌引入的额外复杂性。

提出的方法

• 作者采用基于情形的结构分析，考察含单张水平多米诺骨牌的矩形多格多边形三角剖分中所有可能的3-可图着色扩展。
• 他们识别出12个非等价的极小图（排除先前工作中的T₁和T₂），这些图既非3-可图着色也非单词可表示，且均包含奇数轮图W₅、W₇或W₉作为诱导子图。
• 证明依赖于表明任何非3-可图着色的三角剖分必须包含这12个极小图之一作为诱导子图。
• 他们应用关于奇数轮图（W₂ₜ₊₁，t ≥ 2）非单词可表示性的已知结果，以确立所识别图非单词可表示性。
• 分析包括对各种构型中着色扩展的详尽考虑，利用对称性及平凡变换（旋转、反射）以减少情形数。
• 他们证明，任何试图将3-可图着色扩展到某一点之后的尝试都会强制使用第四种颜色，从而表明存在禁止子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 当单张多米诺骨牌存在于矩形多格多边形中时，3-可图着色条件是否仍是三角剖分中单词可表示性的必要且充分条件？
• RQ2 此类三角剖分中可能出现的极小非3-可图着色且非单词可表示的图有哪些？
• RQ3 先前用于1×1格子多格多边形的结构化证明技术是否可适应多米诺骨牌引入的复杂性增加？
• RQ4 是否存在含单张多米诺骨牌但非3-可图着色却仍为单词可表示的三角剖分？
• RQ5 该结果是否可推广至含多于一张多米诺骨牌的多格多边形或非矩形凸多格多边形？

主要发现

• 本文确立了含单张多米诺骨牌的矩形多格多边形的三角剖分是单词可表示的当且仅当其为3-可图着色，推广了先前关于1×1格子多格多边形的结果。
• 识别出12个非等价的极小图（排除T₁和T₂）作为此类三角剖分中阻止3-可图着色与单词可表示性的唯一禁止子图。
• 所有识别出的非单词可表示图均包含奇数轮图W₅、W₇或W₉作为诱导子图，而这些图已知是非单词可表示的。
• 证明表明，任何非3-可图着色的三角剖分必须包含这12个极小图之一作为诱导子图，从而证明了等价性。
• 作者确认该结果不适用于非凸多格多边形，因为存在反例。
• 分析表明，单张多米诺骨牌的引入使极小禁止构型的数量从两个（T₁, T₂）增加到十二个，反映出结构复杂性的提升。