[论文解读] Words avoiding reversed subwords

Narad Rampersad, Jeffrey Shallit|ArXiv.org|Nov 7, 2003

Syntax, Semantics, Linguistic Variation参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文研究了避免反向子串的无限词——具体而言，即不存在长度至少为 k 的子串是另一子串的反转。本文在二元和三元字母表上构造了周期性和非周期性的无限词，使其避免长度 ≥2 的反向子串，且证明在五字母字母表上，存在无限无平方词，避免长度 ≥2 的反向子串。主要贡献在于通过同态映射构造此类词，并利用结构和组合论证证明其存在性与非周期性。

ABSTRACT

We examine words w satisfying the following property: if x is a subword of w and |x| is at least k for some fixed k, then the reversal of x is not a subword of w.

研究动机与目标

• 确定是否存在无限词，使得其长度至少为 k 的子串均不为另一子串的反转。
• 刻画当 k ≤ 4 时，在二元字母表上此类词的最大长度。
• 为更大的 k 值构造避免反向子串的非周期无限词。
• 探讨无限词中反向子串避免与无平方性的相互作用。
• 将结果扩展至五字母字母表，证明存在无限无平方词，避免长度 ≥2 的反向子串。

提出的方法

• 使用同态映射 h: Σ* → Δ*，从已知的非周期或无平方词生成无限词。
• 构造特定同态映射，如在 Σ₃ 上定义 h(0) = 0012, h(1) = 0112，以及在 Σ₂ 上定义 h(0) = 0001011, h(1) = 0010111，以确保反向避免。
• 通过检查长度为 k 的子串中是否不包含其反转，验证反向避免性质。
• 通过反证法证明非周期性：假设词为周期性，则其源词也应为周期性，与非周期种子的选择矛盾。
• 利用 Thue 在三元字母表上关于无平方词的结果，确保构造出的无限词具有无平方性。
• 使用组合论证表明，若某词避免长度为 k 的反向子串，则仅需检查长度为 k 的子串即可。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有限字母表上的无限词，使得其长度至少为 k 的子串均不为另一子串的反转？
• RQ2 对于较小的 k 值，在二元字母表上避免长度为 k 的反向子串的词的最大长度是多少？
• RQ3 能否构造出避免反向子串（k ≥ 3）的非周期无限词？
• RQ4 能否构造出既无平方又避免长度 ≥2 反向子串的无限词？
• RQ5 构造避免长度 ≥2 反向子串的无限无平方词所需的最小字母表大小是多少？

主要发现

• 在 Σ₃ 上存在一个无限周期词，避免所有 |x| ≥ 2 的反向子串，即 (012)ω。
• 在 Σ₃ 上存在一个无限非周期词，避免所有 |x| ≥ 3 的反向子串，通过从非周期二元词出发的同态构造得出。
• 在二元字母表上，当 k ≤ 4 时，不存在避免长度 ≥k 反向子串的无限词；此类词的最大长度为 8。
• 在 Σ₂ 上存在一个无限非周期词，避免 |x| ≥ 6 的反向子串，通过同态 h(0) = 0001011 与 h(1) = 0010111 构造得出。
• 在五字母字母表上，存在一个无限无平方词，避免长度 ≥2 的反向子串，通过从无平方三元词出发的同态构造得出。
• 在 Σ₂ 上，当 k ≥ 5 时，存在一个无限词 (001011)ω，避免长度 ≥5 的反向子串，且此类词被证明为最终周期性，具有特定前缀约束。