[论文解读] Worst Case and Probabilistic Analysis of the 2-Opt Algorithm for the TSP

Matthias Englert, Heiko Röglin+1 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Feb 14, 2023

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 13被引用 33

一句话总结

该论文证明了 2-Opt 在欧几里得空间和 Lp 空间中的指数级下界，并在 φ-扰动输入模型下推导了对 2-Opt 改进的概率上界。

ABSTRACT

2-Opt is probably the most basic local search heuristic for the TSP. This heuristic achieves amazingly good results on real world Euclidean instances both with respect to running time and approximation ratio. There are numerous experimental studies on the performance of 2-Opt. However, the theoretical knowledge about this heuristic is still very limited. Not even its worst case running time on 2-dimensional Euclidean instances was known so far. We clarify this issue by presenting, for every $p\in\mathbb{N}$, a family of $L_p$ instances on which 2-Opt can take an exponential number of steps. Previous probabilistic analyses were restricted to instances in which $n$ points are placed uniformly at random in the unit square $[0,1]^2$. We consider a more advanced model in which the points can be placed independently according to general distributions on $[0,1]^d$, for an arbitrary $d\ge 2$. In particular, we allow different distributions for different points. We study the expected number of local improvements in terms of the number $n$ of points and the maximal density $ϕ$ of the probability distributions. We show an upper bound on the expected length of any 2-Opt improvement path of $ ilde{O}(n^{4+1/3}\cdotϕ^{8/3})$. When starting with an initial tour computed by an insertion heuristic, the upper bound on the expected number of steps improves even to $ ilde{O}(n^{4+1/3-1/d}\cdotϕ^{8/3})$. If the distances are measured according to the Manhattan metric, then the expected number of steps is bounded by $ ilde{O}(n^{4-1/d}\cdotϕ)$. In addition, we prove an upper bound of $O(\sqrt[d]ϕ)$ on the expected approximation factor with respect to all $L_p$ metrics. Let us remark that our probabilistic analysis covers as special cases the uniform input model with $ϕ=1$ and a smoothed analysis with Gaussian perturbations of standard deviation $σ$ with $ϕ\sim1/σ^d$.

研究动机与目标

• 证明 2-Opt 在欧几里得平面 TSP 实例上可能需要指数级步数。
• 在带有界密度 φ 的广义概率输入模型下分析 2-Opt 的性能。
• 给出在扰动下 2-Opt 改进的期望次数和期望近似比的界限。
• 将先前的结果扩展到 φ-扰动的 Manhattan 路径和其他 Lp 度量，并与平滑分析相关联。

提出的方法

• 使用基于 gadget 的实例在欧几里得平面和一般 Lp 度量中构造指数长度的 2-Opt 改进序列。
• 定义并利用一个 φ-扰动输入模型，其中每个点的密度被界定为 φ。
• 通过嵌入强制指数级状态变化的 gadget 序列来证明下界。
• 推导在 φ-扰动输入下，Manhattan 和 Euclidean 度量下最长 2-Opt 路径的期望长度的上界。
• 证明通过 Theorem 3，插入启发式起始巡回可以减少预期步数。
• 分析在 φ-扰动输入下最坏局部最优巡回的期望近似因子（Theorem 4）。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-Opt 是否能在欧几里得平面中呈现指数长度的改进序列？
• RQ2 在密度上界为 φ 的广义概率输入模型下，2-Opt 的性能如何变化？
• RQ3 对于 φ-扰动的 Manhattan 和 Euclidean 实例，2-Opt 改进的期望次数有什么上界？
• RQ4 从插入启发式巡回开始会如何影响 2-Opt 的期望运行时间和近似质量？
• RQ5 在 φ-扰动输入下跨越 Lp 度量，最坏的 2-Opt 局部最优的期望近似比是多少？

主要发现

• 对于任意 p ∈ {1,2,3,...,∞} 和 n，存在一个具有 16n 顶点的二维 Lp TSP 实例，其 2-Opt 状态图包含长度为 2^{n+4}-22 的路径。
• 对于具有 n 点的 φ-扰动欧几里得实例，最长 2-Opt 路径的期望长度为 O(n^{4+1/3} φ^{8/3} log(nφ))。
• 对于具有 n 点的 φ-扰动 Manhattan 实例，期望长度为 O(n^{4} φ)。
• 在插入启发式初始化下，φ-扰动 Manhattan 实例的 2-Opt 步数期望为 O(n^{4-1/d} log n · φ)。
• 对于 φ-扰动的 Lp 实例，最坏局部最优 2-Opt 巡回的期望近似比是 O(φ^{1/d})。