[论文解读] Worst Case to Average Case Reductions for Polynomials

Tali Kaufman, Shachar Lovett|ArXiv.org|Jun 27, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用 19

一句话总结

本文证明了在任意有限域上，多项式偏差意味着低秩，从而解决了Green和Tao的猜想。此外，本文建立了多项式从最坏情况到平均情况的归约：若一个d次多项式可由少量有界次数的多项式近似，则它可由同样数量的此类多项式精确计算，且给出了与输入规模无关的显式界。

ABSTRACT

A degree-$d$ polynomial $p$ in $n$ variables over a field $\F$ is {\em equidistributed} if it takes on each of its $|\F|$ values close to equally often, and {\em biased} otherwise. We say that $p$ has a {\em low rank} if it can be expressed as a bounded combination of polynomials of lower degree. Green and Tao [gt07] have shown that bias imply low rank over large fields (i.e. for the case $d < |\F|$). They have also conjectured that bias imply low rank over general fields. In this work we affirmatively answer their conjecture. Using this result we obtain a general worst case to average case reductions for polynomials. That is, we show that a polynomial that can be {\em approximated} by few polynomials of bounded degree, can be {\em computed} by few polynomials of bounded degree. We derive some relations between our results to the construction of pseudorandom generators, and to the question of testing concise representations.

研究动机与目标

• 为解决Green和Tao的猜想：即在任意有限域（而不仅仅是大域）上，多项式的偏差是否意味着低秩。
• 建立多项式的最坏情况到平均情况的归约，表明若一个多项式可由少量低次多项式近似，则它可由少量此类多项式精确计算。
• 提供计算或近似给定多项式所需低次多项式数量的显式、与维度无关的界。
• 将结果从大域推广到一般有限域，表明偏差意味着低秩的现象在不同域大小下均具有鲁棒性。

提出的方法

• 通过关于次数 $d$ 的归纳法证明定理2，表明若一个d次多项式的偏差满足 $\geq \delta > 0$，则其d阶秩被有界于 $c(d,\delta)$。
• 使用形如 $p(X+a) - p(X)$ 的导数作为低秩分解的构建模块，确保秩的界与 $n$ 无关。
• 对近似函数 $F(g_1, \dots, g_c)$ 应用傅里叶分析，识别出一个非可忽略的傅里叶系数，该系数对应于一个有偏差的多项式 $p' = p - \sum \alpha_i g_i$。
• 利用定理2对有偏差的 $p'$ 进行处理，将其表达为有限个导数的函数，再与线性组合 $\sum \alpha_i g_i$ 组合，从而重构 $p$。
• 运用涉及 $\mathbb{F}^n$ 中超立方体与区域的概率与组合论证，结合柯西-施瓦茨不等式与并集界，证明若 $p$ 几乎在所有区域上为常数，则其在整个定义域上为常数。
• 证明：若 $p$ 在至少 $1 - 2^{-(d+2)}$ 的区域上为常数，则其全局为常数，利用 $d+1$ 阶导数恒等式 $\sum_{I \subseteq [d+1]} (-1)^{|I|} p(x + y_I) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 偏差意味着低秩的现象是否在所有有限域（包括小域）上成立，还是仅在大域上成立？
• RQ2 若一个多项式可由常数个有界次数的多项式近似，则它是否可由常数个此类多项式精确计算？
• RQ3 在一般有限域中，秩对偏差 $\delta$ 和次数 $d$ 的定量依赖关系如何？
• RQ4 多项式导数的结构如何与其秩和偏差相关联？
• RQ5 能否通过结构特性将多项式计算的最坏情况复杂度界归约为平均情况下的近似界？

主要发现

• 定理2确认了在所有有限域上偏差意味着低秩：若 $\text{bias}(p) \geq \delta > 0$，则 $\text{rank}_{d-1}(p) \leq c(d, \delta)$，其中 $c$ 与 $n$ 无关。
• 该秩仅通过形如 $p(X+a) - p(X)$ 的导数实现，这些导数本身是次数 $\leq d-1$ 的多项式。
• 定理3建立了最坏情况到平均情况的归约：若一个d次多项式 $p$ 被 $c$ 个次数为 $k$ 的多项式 $\delta$-近似，则 $p$ 可由 $c' = c'(d,c,k)$ 个次数 $\leq d-1$ 的多项式精确计算，且 $c'$ 与 $n$ 无关。
• 在精确表示中，近似多项式要么是 $p$ 的导数，要么是 $g_j$ 的导数，从而保证了有界次数与显式结构。
• 证明依赖于傅里叶分析，从中提取出近似中的有偏差分量，再利用定理2进行分解。
• 该结果在所有有限域上均成立，表明偏差意味着低秩的现象具有鲁棒性，不局限于大域，与Gowers范数的逆猜想不同。