[论文解读] Worst-Case to Expander-Case Reductions

Amir Abboud, Nathan Wallheimer|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文引入了从最坏情况到膨胀图情况的自归约（WTERs），证明了若干基础图问题——如k-Clique、4-Cycle、最大匹配、顶点覆盖和最小支配集——可以通过将它们归约为常导出膨胀图上的实例，在最坏情况图上高效求解。关键结果是，对于其中大多数问题，该归约过程简单且基于构件（gadget-based），不依赖于膨胀图分解，这意味着膨胀图分解并非解决这些问题所必需，从而挑战了当前认为此类分解是突破细粒度复杂度屏障的关键这一普遍信念。

ABSTRACT

In recent years, the expander decomposition method was used to develop many graph algorithms, resulting in major improvements to longstanding complexity barriers. This powerful hammer has led the community to (1) believe that most problems are as easy on worst-case graphs as they are on expanders, and (2) suspect that expander decompositions are the key to breaking the remaining longstanding barriers in fine-grained complexity. We set out to investigate the extent to which these two things are true (and for which problems). Towards this end, we put forth the concept of worst-case to expander-case self-reductions. We design a collection of such reductions for fundamental graph problems, verifying belief (1) for them. The list includes $k$-Clique, $4$-Cycle, Maximum Cardinality Matching, Vertex-Cover, and Minimum Dominating Set. Interestingly, for most (but not all) of these problems the proof is via a simple gadget reduction, not via expander decompositions, showing that this hammer is effectively useless against the problem and contradicting (2).

研究动机与目标

• 探究基础图问题在最坏情况图上的难度是否与在膨胀图上相当，以挑战细粒度复杂度中的普遍直觉。
• 形式化一种新型归约——从最坏情况到膨胀图情况的自归约（WTERs），将膨胀图上的算法加速效果转移至最坏情况图。
• 确定膨胀图分解是否真正对突破长期存在的复杂度屏障至关重要，或是否存在更简单的归约方法已足够。
• 通过分析k-Clique、4-Cycle和顶点覆盖等关键问题，评估膨胀图分解在细粒度复杂度中的作用。

提出的方法

• 提出(φ(n), a(n,m), b(n,m))-WTERs的正式定义，其中问题可在最坏情况图上通过调用φ(n)-膨胀图上的实例求解。
• 为k-Clique、4-Cycle、最大匹配、顶点覆盖和最小支配集设计了基于简单构件的归约，表明它们可归约为常导出膨胀图，且无需使用膨胀图分解。
• 采用计费论证（charging argument）来界定归约图中低度顶点和跨割边的数量，证明归约后图的导出率为Ω(1)（高概率成立）。
• 利用概率分析与导出率界限，表明归约图中的割要么具有大量边界边，要么在剩余集合中具有显著的边扩张，从而确保常数级扩张。
• 将WTER框架应用于证明：在满足归约开销的温和条件下，若在膨胀图上存在亚二次时间算法，则在最坏情况图上也存在亚二次时间算法。
• 证明：若某问题具有(Ω(1), a(n,m), b(n,m))-WTER，则在φ(n)-膨胀图上存在O(b(n,m)^{1−ε})-时间算法，可推出在最坏情况图上存在O(a(n,m)^{1−δ})-时间算法，其中δ > 0，依据定理32。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-Clique和顶点覆盖等基础图问题在最坏情况图上是否与在膨胀图上一样容易？
• RQ2 能否在不依赖膨胀图分解的前提下构造从最坏情况到膨胀图情况的自归约？
• RQ3 膨胀图分解方法是否真正对突破细粒度复杂度屏障至关重要，还是更简单的归约已足够？
• RQ4 若某问题存在WTER，其在膨胀图上的快速算法是否意味着在最坏情况图上也存在快速算法？
• RQ5 对于哪些问题，膨胀图分解方法无效？是否存在其他替代归约方式？

主要发现

• 本文证明了k-Clique、4-Cycle、最大基数匹配、顶点覆盖和最小支配集均具有(Ω(1), a(n,m), b(n,m))-WTERs，表明它们在最坏情况图上的难度与在膨胀图上相当。
• 对于其中大多数问题，WTER通过简单构件归约构造，而非依赖于膨胀图分解，表明此类分解并非解决这些问题所必需。
• 通过在低度顶点和边边界上应用计费论证，证明了归约图的导出率为Ω(1)（高概率成立），确保实例确实是膨胀图。
• 该归约框架意味着：若在φ(n)-膨胀图上存在O(b(n,m)^{1−ε})-时间算法，则在最坏情况图上存在O(a(n,m)^{1−δ})-时间算法，其中δ > 0，前提是满足WTER条件。
• 该结果反驳了‘膨胀图分解是突破复杂度屏障的关键’的普遍信念，因为这些问题的归约中并未使用膨胀图分解。
• 本文表明，‘问题在最坏情况图上与在膨胀图上一样容易’这一直觉对这些问题成立，但并非因为膨胀图分解。