[论文解读] WWW and Internet models from 1955 till our days and the ``popularity is attractive'' principle

S. N. Dorogovt︠s︡ev, J. F. F. Mendes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2000

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一句话总结

本文提出了一种广义的优先连接增长网络模型，表明幂律度分布的标度指数 γ 为 γ = 2 + (n_r + n + B)/m，其中 m 为每时间步新增的链接数，n_r 为随机添加的链接数，n 为新节点初始连接数，B 为常数。该模型同时推广了 Simon 于 1955 年提出的模型以及 Barabási-Albert 模型，证明了‘热门性具有吸引力’原则是万维网、互联网及其他复杂系统中无标度网络形成的根本原因。

ABSTRACT

We note that the model discussed in the communication of S. Bornholdt and H. Ebel (World Wide Web scaling exponent from Simon's 1955 model, cond-mat/0008465) is the particular case of the model considered and solved exactly in our paper, cond-mat/0004434. These models may be used for estimation of the order of the deviation of the scaling exponent from 2 both for the distributions of incoming links and links coming out from nodes but not for the obtaining some specific values of the exponents from the WWW growth data. We emphasize that, unlike the statement of Bornholdt and Ebel, both the network under consideration and the model of Barabási and Albert provide quite equal possibilities for individual growth. There is no great difference between them in this respect. The resulting distributions for individual nodes and arising scaling relations have been obtained in our paper, cond-mat/0004434. We discuss briefly the modern state of art in the physics of the evolving networks and the great role of the general principle -- {\em popularity is attractive} -- in the self-organization of complex communications networks, in physics of nonequilibrium phenomena, and in Nature.

研究动机与目标

• 澄清本文提出的优先连接框架与 Simon 于 1955 年提出的模型以及 Barabási-Albert 模型之间的关系。
• 证明本文提出的模型涵盖了并推广了 Bornholdt 和 Ebel 所用的模型，从而解决关于增长速率差异的争议。
• 为增长网络中连通度分布的标度指数 γ 提供统一且数学严谨的推导。
• 强调‘热门性具有吸引力’原则在塑造万维网、互联网等演化网络中的普遍性。
• 阐明此类模型在预测 γ 的具体实验值方面的局限性，同时支持对 γ = 2 的偏离程度进行估计。

提出的方法

• 形式化一个增长网络模型，其中每个新节点根据现有节点的当前入度 k 以优先方式添加 m 条有向链接，链接概率与 k + A 成正比（A = B + n）。
• 引入三个关键参数：m（每时间步的优先链接数）、n_r（随机添加的链接数）和 n（新节点的初始链接数），B 为常数以确保正值。
• 使用连续时间近似推导出节点在时间 s 出生、在时间 t 观测时的平均入度 〈k(s,t)〉 的偏微分方程。
• 在标度假设下求解所得方程，推导出标度指数 β = m / (m + n_r + n + B)，进而得出标度关系 β(γ − 1) = 1。
• 推导出标度指数的精确表达式：γ = 2 + (n_r + n + B)/m，适用于大规模网络。
• 证明单个节点的度分布遵循广义标度形式 f(x) = x^{A−1}exp(−x)，确认无标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义优先连接模型与 Simon 于 1955 年提出的模型以及 Barabási-Albert 模型之间有何关系？
• RQ2 该模型能否解释万维网入链分布中观察到的标度指数 γ ≈ 2.1？若能，其前提条件是什么？
• RQ3 随机链接添加（n_r）和初始吸引力（n + B）在决定 γ 与 2 的偏离程度中起什么作用？
• RQ4 Bornholdt 和 Ebel 关于其模型与 Barabási-Albert 模型在增长速率能力上存在差异的说法为何不正确？
• RQ5 ‘热门性具有吸引力’原则如何支配万维网和互联网等复杂网络的自组织过程？

主要发现

• 连通度分布的标度指数精确为 γ = 2 + (n_r + n + B)/m，该结果源自连续近似，对标度指数而言是精确的。
• 该模型同时推广了 Simon 于 1955 年提出的模型和 Barabási-Albert 模型，后者在 n_r = 0 且 n + B = m 时成为其特例。
• 该模型表明，Bornholdt-Ebel 模型与 Barabási-Albert 模型在单个节点增长可能性方面具有等价性，从而反驳了关于不对称性的说法。
• 单个节点度的标度函数为 f(x) = x^{A−1}exp(−x)，其为广义形式，表明节点度分布广泛。
• 标度关系 β(γ − 1) = 1 对所有此类无标度网络普遍成立，其中 β = m / (m + n_r + n + B)。
• 该模型可估算 γ 与 2 的偏离程度（例如，万维网中 γ ≈ 2.1），但无法仅从数据中预测精确的实验值。