[论文解读] XFT: Extending the Digital Application of the Fourier Transform

Rafael G. Campos, J. Rico-Melgoza+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出XFT，一种基于Hermite多项式高斯求积和对角合同变换（等价于chirp-FFT-chirp过程）的快速、闭式离散化分数阶傅里叶变换。该方法将分数阶傅里叶变换扩展至单位圆内的任意复数值，并在z = i时相较于标准FFT实现了更高精度的离散傅里叶变换计算。

ABSTRACT

In recent years there has been a growing interest in the fractional Fourier transform driven by its great number of applications. The literature in this field follows two main routes. On the one hand the applications fields where the ordinary Fourier transform can be applied are being revisited to use this intermediate time-frequency representation of signals; and on the other hand fast algorithms for numerical computation of the fractional Fourier transform are devised. In this paper we derive a Gaussian-like quadrature of the continuous fractional Fourier transform. This quadrature is given in terms of the Hermite polynomials and their zeros. By using some asymptotic formulae we are able to solve the quadrature by a diagonal congruence transformation equivalent to a chirp-FFTchirp transformation, yielding a fast discretization of the fractional Fourier transform and its inverse in closed form. We extend the range of the fractional Fourier transform by considering arbitrary complex values inside the unitary circle and not only at the boundary. Interestingly enough, the congruence transformation evaluated at z = i, which gives the Fourier transform, improves the standard discrete Fourier transform, yielding a new method to compute a more accurate FFT.

研究动机与目标

• 开发一种快速、数值稳定的连续分数阶傅里叶变换离散化方法，以拓展其应用范围。
• 将分数阶傅里叶变换的定义域从单位圆边界扩展至单位圆内的任意复数值。
• 通过一种新颖的合同变换重新解释z = i情形下的分数阶变换，从而提升标准离散傅里叶变换的精度。
• 为分数阶傅里叶变换及其逆变换提供一种闭式、计算高效的算法。

提出的方法

• 利用Hermite多项式及其零点，推导出适用于连续分数阶傅里叶变换的高斯型求积公式。
• 应用渐近公式，将求积转换为等价于chirp-FFT-chirp过程的对角合同变换操作。
• 利用所得变换，实现分数阶傅里叶变换及其逆变换的快速、闭式离散化。
• 将变换的定义域扩展至单位圆内部的任意复数值，而不仅限于边界。
• 利用Hermite函数的结构及其正交性，确保数值稳定性和计算效率。
• 采用矩阵合同变换，保持变换特性的同时实现快速计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用正交多项式高效且准确地实现连续分数阶傅里叶变换的离散化？
• RQ2 分数阶傅里叶变换的范围能否超越单位圆边界，扩展至单位圆内的任意复数值？
• RQ3 将分数阶傅里叶变换表达为chirp-FFT-chirp变换形式，其计算优势是什么？
• RQ4 所提出的方法在z = i时如何提升标准离散傅里叶变换的精度？
• RQ5 Hermite多项式及其零点在构建分数阶傅里叶变换稳定且快速的求积公式中起到何种作用？

主要发现

• 所提方法通过等价于chirp-FFT-chirp变换的快速闭式离散化，实现了分数阶傅里叶变换的高效计算。
• 求积基于Hermite多项式及其零点，确保了高数值精度。
• 该方法成功将分数阶傅里叶变换扩展至单位圆内的任意复数值，而不仅限于边界。
• 在z = i时，该变换生成的离散傅里叶变换精度高于标准FFT。
• 对角合同变换实现了高效计算，并降低了数值误差。
• Hermite函数的渐近公式使得无需迭代优化即可推导出稳定且快速的算法。