[论文解读] Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean submanifolds

Bang‐Yen Chen, Sharief Deshmukh|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了在欧几里得子流形上，当孤立子向量场为位置向量场的切向分量时的Yamabe与拟-Yamabe孤立子。研究证明，此类孤立子在欧几里得空间中的正常超曲面上必为拟脐形，且切向位置场为其特征方向；当 μ ≠ 0 时，该超曲面必为旋转超曲面的开部分，其旋转轴通过原点。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean submanifolds whose soliton fields are the tangential components of their position vector fields. Several fundamental results of such solitons were proved. In particular, we classify such Yamabe and quasi-Yamabe solitons on Euclidean hypersurfaces.

研究动机与目标

• 启动对欧几里得子流形上Yamabe与拟-Yamabe孤立子的研究，其中孤立子场为位置向量场的切向分量。
• 对欧几里得超曲面上此类孤立子进行分类，尤其在涉及位置向量场的几何约束条件下。
• 探讨当孤立子场源自位置向量场时，孤立子条件的几何意义。
• 建立孤立子结构与内在几何性质（如拟脐性与Torse-形成向量场）之间的联系。
• 确定在欧几里得空间中，何种必要且充分条件使得超曲面能支持以切向位置场为孤立子场的拟-Yamabe孤立子。

提出的方法

• 利用度量的李导数，通过方程 $\frac{1}{2}\mathcal{L}_X g = (R - \lambda)g$ 和 $\frac{1}{2}\mathcal{L}_X g = (R - \lambda)g + \mu X^\# \otimes X^\#$ 分别定义Yamabe与拟-Yamabe孤立子。
• 应用高斯公式与温加滕公式，将子流形上的Levi-Civita联络与周围欧几里得空间的联络联系起来。
• 从孤立子方程与位置向量场的几何性质推导出关键条件 $g(A_{{\bf x}^N}V, W) = (R - \lambda - 1)g(V,W) + \mu g({\bf x}^T, V)g({\bf x}^T, W)$。
• 运用Torse-形成向量场的概念，其定义为 $\nabla_X v = \varphi X + \alpha(X)v$，以分析 $\mathbf{x}^T$ 的几何行为。
• 利用旋转超曲面的分类及锥面与球面的结构，刻画可能的孤立子解。
• 应用 $\mathbf{x}^T$ 处处非零（即正常子流形）的条件，以限制可接受的超曲面类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，欧几里得子流形能支持以位置向量场的切向分量作为孤立子场的Yamabe孤立子？
• RQ2 在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中，何种几何结构的超曲面才能支持 $\mu \neq 0$ 且孤立子场为 $\mathbf{x}^T$ 的拟-Yamabe孤立子？
• RQ3 在孤立子方程的背景下，位置向量场的切向分量如何与形状算子及数量曲率相关联？
• RQ4 孤立子场 $\mathbf{x}^T$ 是否可能为Torse-形成向量场？这对其超曲面的几何结构有何含义？
• RQ5 在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中，何种类别的超曲面能支持以 $\mathbf{x}^T$ 为孤立子场的拟-Yamabe孤立子，且 $\mu \neq 0$？

主要发现

• 在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中的欧几里得超曲面 $M$ 支持以 $\mathbf{x}^T$ 为孤立子场且 $\mu \neq 0$ 的拟-Yamabe孤立子，当且仅当 $M$ 是以 $\mathbf{x}^T$ 为特征方向的拟脐形超曲面。
• 在 $\mu \neq 0$ 的拟-Yamabe孤立子条件下，位置向量场的切向分量 $\mathbf{x}^T$ 是 $M$ 上的Torse-形成向量场。
• 若 $M$ 为正常超曲面且 $\mu \neq 0$，则 $M$ 必为旋转超曲面的开部分，其旋转轴通过原点。
• 孤立子条件导致形状算子 $A_{{\bf x}^N}$ 具有特定形式：在 $\mathbf{x}^T$ 的正交补空间上，其作用为恒等算子的标量倍；而在 $\mathbf{x}^T$ 方向上则有特殊作用。
• 数量曲率 $R$ 与孤立子常数 $\lambda$ 通过方程 $g(A_{{\bf x}^N}V, W) = (R - \lambda - 1)g(V,W) + \mu g({\bf x}^T, V)g({\bf x}^T, W)$ 与超曲面的几何相关联。
• 该分类结果意味着，除非被假设条件排除，否则任何作为超球面、球柱面或球锥面开部分的超曲面均无法支持 $\mu \neq 0$ 的此类拟-Yamabe孤立子。