[论文解读] Yamabe solitons on conformal Sasaki-like almost contact B-metric manifolds

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过接触共形变换对共形 Sasaki-类似几乎接触 B-度量流形上的 Yamabe 孤子进行了研究，涉及 B-度量、Reeb 向量场和接触 1-形式的变换。研究证明，当初始流形为共辛或 Sasaki-类似时，均属于主类 $φ_1$ 的 Yamabe 孤子，且通过一个 5 维李群的例子展示了具有标量曲率 $ar{ } = 4$ 和 $ar{ } = 4e^{-2w}$ 的收缩型 Yamabe 孤子。

ABSTRACT

A Yamabe soliton is defined on arbitrary almost contact B-metric manifold, which is obtained by a contact conformal transformation of the Reeb vector field, its dual contact 1-form, the B-metric, and its associated B-metric. The cases when the given manifold is cosymplectic or Sasaki-like are studied. In this way, manifolds from one of the main classes of the studied manifolds are obtained. The same class contains the conformally equivalent manifolds of cosymplectic manifolds by the usual conformal transformation of the B-metric. An explicit 5-dimensional example of a Lie group is given, which is characterized in relation to the obtained results.

研究动机与目标

• 在接触共形变换下，定义并研究几乎接触 B-度量流形上的 Yamabe 孤子。
• 研究当初始流形为共辛或 Sasaki-类似时，Yamabe 孤子的几何性质。
• 识别此类变换所生成的流形类，特别是其是否属于 Ganchev-Mihova-Gribachev 分类中的主类之一。
• 构建并验证一个显式的 5 维李群例子，以支持理论结果。
• 确定所构造例子中的标量曲率和孤子类型（收缩、平稳或扩张）。

提出的方法

• 通过方程 $\frac{1}{2}\mathcal{L}_v g = (\tau - \sigma)g$ 在几乎接触 B-度量流形上定义 Yamabe 孤子，其中 $\mathcal{L}_v g$ 表示度量沿向量场 $v$ 的 Lie 导数，$\tau$ 为标量曲率，$\sigma$ 为常数。
• 使用函数 $u$、$v$ 和 $w$ 定义接触共形变换，对 B-度量 $g$、Reeb 向量场 $\xi$ 和接触 1-形式 $\eta$ 进行变换。
• 利用 B-度量的 Levi-Civita 联络计算基本张量 $F$ 及相关 Lee 形式 $\theta$、$\theta^*$ 和 $\omega$，以表征结构的几何性质。
• 分析变换后流形的曲率张量和 Ricci 张量，特别关注标量曲率 $\bar{\tau}$ 及其关联量 $\bar{\tau}^*$。
• 通过计算 Lee 形式并验证其关于 $du$ 和 $du \circ \varphi$ 的表达式，确认变换后流形属于 $\mathcal{F}_1$ 类。
• 构造一个具有左不变向量场且结构常数依赖于实参数 $\lambda$、$\mu$ 的 5 维李群，并验证其为 Sasaki-类似，且在给定接触共形变换下支持 Yamabe 孤子。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过接触共形变换构造的 Yamabe 孤子是否保持在几乎接触 B-度量流形的主类之一？
• RQ2 当初始流形为共辛或 Sasaki-类似时，变换后流形的标量曲率 $\bar{\tau}$ 和孤子常数 $\bar{\sigma}$ 的行为如何？
• RQ3 能否构造一个具体的 5 维李群，使其几乎接触 B-度量结构在接触共形变换下支持 Yamabe 孤子？
• RQ4 Lee 形式 $\bar{\theta}$、$\bar{\theta}^*$ 和 $\bar{\omega}$ 在接触共形映射下如何变换？它们揭示了结果流形的何种几何特性？
• RQ5 所得到的 Yamabe 孤子是收缩、平稳还是扩张型？这如何由标量曲率 $\bar{\tau}$ 和孤子常数 $\bar{\sigma}$ 确定？

主要发现

• 通过共形接触变换得到的流形，当初始流形为共辛或 Sasaki-类似时，属于 $\mathcal{F}_1$ 类，这是 Ganchev-Mihova-Gribachev 分类中的主类之一。
• 一个结构常数依赖于 $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ 的 5 维李群例子被证明为 Sasaki-类似，并在给定接触共形变换下支持 Yamabe 孤子。
• 变换后流形的标量曲率为 $\bar{\tau} = 4e^{-2w}$，孤子常数为 $\bar{\sigma} = 4$，表明为收缩型 Yamabe 孤子。
• 关联量 $\bar{\tau}^* = 0$，且 Lee 形式为 $\bar{\theta} = 4n\,du \circ \varphi$，$\bar{\theta}^* = 4n\,du$，$\bar{\omega} = 0$，确认了流形属于 $\mathcal{F}_1$ 类。
• 定义在 $\mathbb{R}^5$ 上的函数 $u$、$v$ 和 $w$ 满足 $\mathrm{d}u = -\mathrm{d}v \circ \varphi$，$\mathrm{d}u(\xi) = 0$，$\mathrm{d}v(\xi) = 1$，$\mathrm{d}w = \eta$，这些关系与接触共形变换框架一致。
• 变换后流形的 Ricci 张量为 $\bar{\rho} = 4\,\eta \otimes \eta$，标量曲率 $\bar{\tau} = 4e^{-2w}$ 表明当 $w > 0$ 时，Yamabe 孤子为收缩型。