[论文解读] Yamabe systems, optimal partitions, and nodal solutions to the Yamabe equation

Mónica Clapp, Angela Pistoia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 48被引用 4

一句话总结

该论文在闭黎曼流形上，于维度 m ≥ 10 的条件下，证明了当 m = 10 时在非局部共形平坦性及额外几何条件成立时，Yamabe 方程存在具有 ℓ ≥ 2 个分量的正则最优划分。论文证明，弱耦合竞争型椭圆系统存在能量最低的解，其分量非平凡，且随着竞争增强，各分量发生相分离，形成覆盖整个流形的正则自由边界划分，并由此导出 ℓ = 2 时的最低能量变号解。

ABSTRACT

We give conditions for the existence of regular optimal partitions, with an arbitrary number $\ell\geq 2$ of components, for the Yamabe equation on a closed Riemannian manifold $(M,g)$. To this aim, we study a weakly coupled competitive elliptic system of $\ell$ equations, related to the Yamabe equation. We show that this system has a least energy solution with nontrivial components if $\dim M\geq 10$, $(M,g)$ is not locally conformally flat and satisfies an additional geometric assumption whenever $\dim M=10$. Moreover, we show that the limit profiles of the components of the solution separate spatially as the competition parameter goes to $-\infty$, giving rise to an optimal partition. We show that this partition exhausts the whole manifold, and we prove the regularity of both the interfaces and the limit profiles, together with a free boundary condition. For $\ell=2$ the optimal partition obtained yields a least energy sign-changing solution to the Yamabe equation with precisely two nodal domains.

研究动机与目标

• 在闭黎曼流形上建立 Yamabe 方程最优 ℓ-划分存在的条件。
• 证明与 Yamabe 方程相关的弱耦合竞争型椭圆系统存在具有非平凡分量的最低能量解。
• 分析当竞争参数 λ → −∞ 时解的渐近行为，导致相分离并形成最优划分。
• 证明界面（自由边界）及相分离区域中极限轮廓的正则性。
• 为 ℓ = 2 构造 Yamabe 方程的最低能量变号解，其具有恰好两个节点区域。

提出的方法

• 研究涉及共形拉普拉斯算子与临界非线性项（含负相互作用项）的 ℓ 个方程的弱耦合竞争型椭圆系统。
• 利用变分法，在流形的强制性与几何假设下，证明存在具有非平凡分量的最低能量解。
• 通过 Almgren 的单调性公式与爆破分析，研究竞争参数 λ → −∞ 时的渐近极限。
• 利用区域变分与紧致性论证，建立解的统一 Hölder 与 Lipschitz 有界性。
• 通过带变量系数的广义 Almgren 型单调性公式，证明自由边界的正则性及极限轮廓的正则性。
• 从极限系统与 Pohozaev 型恒等式推导出节点区域之间界面处的自由边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭黎曼流形 (M,g) 上，满足何种几何条件时，Yamabe 方程对 ℓ ≥ 2 存在最优 ℓ-划分？
• RQ2 当 dim M ≥ 10 时，具有临界非线性项与负耦合的弱耦合竞争型椭圆系统是否存在具有非平凡分量的最低能量解？
• RQ3 当竞争参数 λ → −∞ 时，竞争系统解的分量如何演化？
• RQ4 极限解中节点区域之间的界面是否正则？是否满足自由边界条件？
• RQ5 该系统的相分离极限是否能导出 ℓ = 2 时 Yamabe 方程的最低能量变号解？

主要发现

• 当 dim M ≥ 10 时，若 (M,g) 不是局部共形平坦的，且在 dim M = 10 时满足额外几何条件，则竞争系统存在具有非平凡分量的最低能量解。
• 当 λ → −∞ 时，解的分量在空间上发生相分离，形成覆盖整个流形 M 的最优 ℓ-划分。
• 节点区域之间的界面为 C^1,α 正则，极限轮廓为 Lipschitz 连续，并在界面处满足自由边界条件。
• 极限轮廓满足广义 Pohozaev 恒等式，且 Almgren 单调性公式在爆破中心 x₀ 处一致成立。
• 当 ℓ = 2 时，最优划分导出 Yamabe 方程的最低能量变号解，其具有恰好两个节点区域。
• 在与一般 ℓ ≥ 2 相同的几何假设下，此类解的存在性得以保证。