[论文解读] Yang-Baxter basis of Hecke algebra and Casselman's problem (extended abstract)

Maki Nakasuji, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文将 A 型 Hecke 代数的 Yang-Baxter 基推广至所有李型，并建立其对偶性，利用该基解决 p-进群主系连连表示中 Iwahori 不动向量的 Casselman 问题。关键贡献在于给出了 Yang-Baxter 基与标准基之间过渡系数的闭式公式，从而实现 Whittaker 函数的显式计算，并解决了 Bump-Nakasuji 框架中关于过渡系数的猜想。

ABSTRACT

We generalize the definition of Yang-Baxter basis of type $A$ Hecke algebra introduced by A.Lascoux, B.Leclerc and J.Y.Thibon (Letters in Math. Phys., 40 (1997), 75--90) to all the Lie types and prove their duality. As an application we give a solution to Casselman's problem on Iwahori fixed vectors of principal series representation of $p$-adic groups.

研究动机与目标

• 将 Yang-Baxter 基构造从 A 型推广至所有李型，利用根系与 Weyl 群数据。
• 证明通用 Hecke 代数中 Yang-Baxter 基与标准基之间的对偶性。
• 解决 p-进群主系连连表示中 Iwahori 不动向量基的 Casselman 问题。
• 建立 Yang-Baxter 基与标准基之间过渡系数的显式公式，以根系数据表示。
• 解决 Bump-Nakasuji（2011）的猜想 1.2 和 1.3，即在单连通根系中过渡系数的分解性质。

提出的方法

• 利用根系 $ \frak{R} = (\frak{R}, \frak{R}^*, \frak{R}, \frak{R}^*) $，将 A 型的 Yang-Baxter 基构造推广至任意李型，其中包含权格 $ \frak{R} $、根系 $ \frak{R}^* $ 与 Weyl 群 $ W $。
• 通过递归关系定义 Yang-Baxter 基 $ Y_w $：当 $ w = w's_i > w' $ 时，$ Y_w = Y_{w'}(h_i + \frac{t_1 + t_2}{w'E(\beta)}) $，其中 $ \beta = s_{i_1}\rho\to s_{i_{j-1}}(\rho_{i_j}) $，确保其与约化表达式无关。
• 引入 Yang-Baxter 基 $ Y_v $ 与标准基 $ h_w $ 之间的过渡系数 $ p(w,v) $ 和 $ \tilde{p}(w,v) $，满足 $ Y_v = \bigsum_{w \neq v} p(w,v) h_w $ 与 $ h_v = \bigsum_{w \neq v} \tilde{p}(w,v) Y_w $。
• 将参数特化为 $ t_1 = -q^{-1}, t_2 = 1 $，以关联基与 Whittaker 函数及 Iwahori 不动向量，使用 Demazure-Lusztig 型算子。
• 通过递推关系与初值条件证明 $ b_{w,v}(\tau) = p(w,v)(\tau)|_{t_1=-q^{-1}, t_2=1} $，其与 Reeder（2012）的已知公式一致，从而证明 Whittaker 函数的公式。
• 通过对偶性与恒等式 $ \tilde{m}(w,v) = (-1)^{\text{length}} m(vw_0, w w_0) $，建立 Bump-Nakasuji 猜想 1.2 与 1.3 的等价性，其中根集 $ S'(w,v) = S(vw_0, w w_0) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 A 型 Hecke 代数的 Yang-Baxter 基推广至所有李型？
• RQ2 通用 Hecke 代数中，Yang-Baxter 基与标准基之间的对偶结构在任意根系下是怎样的？
• RQ3 Yang-Baxter 基能否用于解决 p-进群主系连连表示中 Iwahori 不动向量基的 Casselman 问题？
• RQ4 过渡系数 $ p(w,v) $ 与 $ \tilde{p}(w,v) $ 的显式公式如何以根系数据表示？
• RQ5 Bump-Nakasuji 关于单连通根系中过渡系数分解的猜想是否成立？若成立，其条件为何？

主要发现

• Yang-Baxter 基 $ Y_w $ 对任意 Weyl 群元素 $ w $ 是良好定义的，且与约化表达式无关，其首项为 $ h_w $，构成通用 Hecke 代数 $ Q_{t_1,t_2}(\frak{R}) $ 的基。
• 过渡系数 $ b_{w,v}(\tau) $ 满足 $ b_{w,v}(\tau) = p(w,v)(\tau)|_{t_1=-q^{-1}, t_2=1} $，并与 Reeder（2012）的递推关系和初值一致，从而证明了 Whittaker 函数的公式。
• 给出了 $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v} $ 的闭式公式：$ \bigprod_{\beta \neq R(v)} \frac{1 - q^{-1}e^{\beta}}{1 - e^{\beta}} $，以及 $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v}(-q^{-1})^{\text{length}(w)} $ 的公式：$ \bigprod_{\beta \neq R(v)} \frac{1 - q^{-1}}{1 - e^{\beta}} $。
• 通过 duality，Bump-Nakasuji 的猜想 1.2 与 1.3 被证明等价，其中 $ \tilde{m}(w,v) = (-1)^{\text{length}(v)-\text{length}(w)} m(vw_0, w w_0) $，且当 $ |S(w,v)| = \text{length}(v) - \text{length}(w) $ 时，分解成立。
• 恢复了 [BN] 中的公式 $ \bigsum_{w \neq v} b_{w,v} = m(e, v^{-1}) $，为 [BN] 定理 1.4 提供了新证明。
• 本文通过 Yang-Baxter 关系与 Demazure-Lusztig 算子，建立了一个统一框架，可显式用根系数据与参数 $ t_1, t_2 $ 计算 Iwahori 不动向量与 Whittaker 函数。