[论文解读] Yang-Mills Connections On Orientable and Nonorientable Surfaces

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文将阿蒂yah-Bott关于杨-米尔斯泛函的Morse理论推广至在可定向与不可定向黎曼曲面上的主 $SO(n)$、$Sp(n)$ 和 $SO(2n+1)$-丛。通过采用Laumon-Rapoport方法反转阿蒂yah-Bott递推关系，推导出全纯结构的半稳定层的显式有理等变庞加莱级数，为不可定向曲面上杨-米尔斯联络模空间提供了完整的拓扑不变量。

ABSTRACT

In math.SG/0605587, we studied Yang-Mills functional on the space of connections on a principal G_R-bundle over a closed, connected, nonorientable surface, where G_R is any compact connected Lie group. In this sequel, we generalize the discussion in "The Yang-Mills equations over Riemann surfaces" by Atiyah and Bott, and math.SG/0605587. We obtain explicit descriptions (as representation varieties) of Morse strata of Yang-Mills functional on orientable and nonorientable surfaces for non-unitary classical groups SO(n) and Sp(n). It turns out to be quite different from the unitary case. we use Laumon and Rapoport's method in "The Langlands lemma and the Betti numbers of stacks of G-bundles on a curve" to invert the Atiyah-Bott recursion relation, and write down explicit formulas of rational equivariant Poincaré series of the semistable stratum of the space of holomorphic structures on a principal $SO(n,\bC)$-bundle or a principal $Sp(n,\bC)$-bundle.

研究动机与目标

• 将阿蒂yah-Bott对杨-米尔斯泛函的Morse理论研究扩展至不可定向曲面。
• 计算在可定向与不可定向黎曼曲面上，$SO(n)$、$Sp(n)$ 与 $SO(2n+1)$-丛的半稳定层的有理等变庞加莱级数。
• 通过可定向双重覆盖与扭曲表示簇，将阿蒂yah-Bott递推关系推广至不可定向曲面。
• 利用Laumon-Rapoport反演技术，推导庞加莱级数的显式公式。
• 通过等变上同调不变量，建立杨-米尔斯联络模空间的完整拓扑描述。

提出的方法

• 使用可定向双重覆盖 $\tilde{\Sigma} \to \Sigma$ 将联络从不可定向曲面拉回到可定向曲面，并分析其等变结构。
• 将主 $G_{\mathbb{R}}$-丛上阿蒂yah-Bott的联络空间分层方法应用于 $SO(n)$、$Sp(n)$ 与 $SO(2n+1)$ 群。
• 通过Laumon-Rapoport方法反转阿蒂yah-Bott递推关系，推导出等变庞加莱级数的显式有理生成函数。
• 为 $U(n)$、$SO(n)$ 与 $Sp(n)$ 定义扭曲表示簇，以在不可定向曲面上建模规范理论不变量。
• 利用Weyl区域与抛物子群，通过根系与共特征数据对分层进行分类，并计算余维数。
• 应用反演公式（定理 A.6），将半稳定庞加莱级数 $P_t^{ss}(G,\nu_G)$ 表示为勒维子群与根系不变量数据的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典群 $SO(n)$ 与 $Sp(n)$ 的情况下，杨-米尔斯泛函的等变Morse分层在不可定向曲面上的行为如何？
• RQ2 在不可定向曲面上，全纯 $SO(n,\mathbb{C})$-与 $Sp(n,\mathbb{C})$-丛的半稳定层的有理等变庞加莱级数的显式形式是什么？
• RQ3 能否通过双重覆盖与扭曲表示簇，将阿蒂yah-Bott递推关系在不可定向曲面上实现反演？
• RQ4 对于 $SO(2n+1)$-丛，杨-米尔斯联络模空间的拓扑在可定向与不可定向曲面之间有何差异？
• RQ5 障碍类 $o_2(P) \in H^2(\Sigma, \pi_1(G))$ 在决定表示簇的平坦性与连通性方面起什么作用？

主要发现

• 通过Laumon-Rapoport方法反演阿蒂yah-Bott递推关系，显式计算出在可定向曲面上 $SO(n,\mathbb{C})$-与 $Sp(n,\mathbb{C})$-丛的有理等变庞加莱级数 $P_t^{ss}(G,\nu_G)$。
• 对于不可定向曲面，利用扭曲表示簇与双重覆盖构造，推导出半稳定层的庞加莱级数，从而将可定向情形的结果加以推广。
• 当 $G$ 是单连通时，由定理 A.8 可知，$P_t^{ss}(G,\nu_G)$ 与拓扑类型 $\nu_G$ 无关。
• 定理 A.9 中的公式将 $P_t^{ss}(G,\nu_G)$ 表示为抛物子群的和，其系数包含来自根系数据的 $t$-幂与 $\rho_P^G$-权。
• 分层的余维数由 $2\dim(N_P)(g-1) + 4\langle\rho_P^G, \nu_P'\rangle$ 给出，该表达式控制了庞加莱级数中的 $t$-幂。
• 反演公式（定理 A.6）允许从总级数 $P_t(G,\nu_G)$ 递归计算 $P_t^{ss}(G,\nu_G)$，并得到以 $t$-有理函数表示的闭式表达。