[论文解读] Yang-Mills-Higgs theory for symplectic fibrations

Ignasi Mundet i Riera|ArXiv.org|Dec 18, 1999

Geometry and complex manifolds被引用 44

一句话总结

本文提出了一套关于辛纤维丛上杨-米尔斯-希格斯理论的统一框架，同时推广了涡旋方程与伪全纯曲线理论。它建立了希钦–科巴亚希对应关系，通过Sobolev完备化构造了光滑模空间，提供了类似于格罗莫夫的紧化方法，并为具有哈密顿 $S^1$-作用的辛流形定义了不变量。

ABSTRACT

Our aim in this work is to study a system of equations which generalises at the same time the vortex equations of Yang-Mills-Higgs theory and the holomorphicity equation in Gromov theory of pseudoholomorphic curves. We extend some results and definitions from both theories to a common setting. We introduce a functional generalising Yang-Mills-Higgs functional, whose minima coincide with the solutions to our equations. We prove a Hitchin-Kobayashi correspondence allowing to study the solutions of the equations in the Kaehler case. We give a structure of smooth manifold to the set of (gauge equivalence classes of) solutions to (a perturbation of) the equations (the so-called moduli space). We give a compactification of the moduli space, generalising Gromov's compactification of the moduli of holomorphic curves. Finally, we use the moduli space to define (under certain conditions) invariants of compact symplectic manifolds with a Hamiltonian almost free action of S^1. These invariants generalise Gromov-Witten invariants. This is the author's Ph.D. Thesis. A chapter of it is contained in the paper math.DG/9901076. After submitting his thesis in April 1999, the author knew that K. Cieliebak, A. R. Gaio and D. Salamon had also arrived (from a different point of view) at the same equations, and had developed a very similar programme (see math.SG/9909122).

研究动机与目标

• 将杨-米尔斯-希格斯理论与伪全纯曲线理论统一于辛纤维丛上的共同框架中。
• 定义一个杨-米尔斯-希格斯泛函，其极小值解对应于统一涡旋与全纯性条件的方程组。
• 在凯勒设定下，为稳定对建立希钦–科巴亚希对应关系。
• 通过Sobolev完备化与规范理论技巧，构造解的模空间的光滑流形结构。
• 提供一个类似于格罗莫夫对伪全纯曲线的紧化方法的模空间紧化。

提出的方法

• 引入一个耦合主丛 $E$ 上的联络 $A$ 与关联纤维丛 $\mathcal{F} = E \times_K F$ 上的截面 $\Phi$ 的方程组。
• 在空间 $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 上定义杨-米尔斯-希格斯泛函，其极小值对应于方程的解。
• 通过将解与对 $(E, \Phi)$ 的稳定性条件相关联，应用希钦–科巴亚希对应关系。
• 利用Sobolev完备化，使解的规范等价类的模空间具有光滑流形结构。
• 应用格罗莫夫型技巧，包括正则性与奇点可移除性，构造模空间的紧化。
• 通过 $S^1$-作用下的尖点 $\sigma$-THC（扭曲全纯曲线）的模空间，定义不变量 $\Phi$ 与 $\overline{\Phi}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 杨-米尔斯-希格斯理论能否推广到具有哈密顿群作用的辛纤维丛上？
• RQ2 在该推广设定下，对 $(E, \Phi)$ 的希钦–科巴亚希对应关系是否成立？
• RQ3 能否通过规范理论方法，使解的模空间具有光滑流形结构？
• RQ4 是否存在一个类似于格罗莫夫对伪全纯曲线的紧化方法的模空间紧化？
• RQ5 能否利用该模空间，为具有哈密顿 $S^1$-作用的紧致辛流形定义不变量？

主要发现

• 引入了一套新方程，统一推广了杨-米尔斯-希格斯方程与伪全纯曲线方程。
• 在 $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 上定义了杨-米尔斯-希格斯泛函，其临界点与方程的解完全一致。
• 证明了希钦–科巴亚希对应关系，将解的存在性与对 $(E, \Phi)$ 的稳定性条件联系起来。
• 在半自由 $S^1$-作用下，通过Sobolev完备化与横截性，证明模空间 $\mathcal{M}_{\sigma}^{F,S^1}(B,c)$ 为光滑流形。
• 通过正则性、奇点可移除性及等变格罗莫夫–施瓦茨引理，构造了模空间的紧化。
• 为具有哈密顿 $S^1$-作用的辛流形定义了不变量 $\Phi$ 与 $\overline{\Phi}$，基于尖点 $\sigma$-THC 的模空间。