[论文解读] Yangian characters and classical W-algebras

Alexander Molev, E. Mukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文建立了基洛维奇–雷谢蒂欣模的杨代数特征标与B、C、D型经典李代数的经典W代数生成元之间的精确对应关系。通过杨代数的RTT表示和仿射哈里什-钱德拉同构，将W代数的显式生成元表示为q-特征标的像，证明其与谱参数中的阶乘对称函数一致。关键结果是通过移位权的对称多项式实现W代数生成元的构造。

ABSTRACT

The Yangian characters (or q-characters) are known to be closely related to the classical W-algebras and to the centers of the affine vertex algebras at the critical level. We make this relationship more explicit by producing families of generators of the W-algebras from the characters of the Kirillov-Reshetikhin modules associated with multiples of the first fundamental weight in types B and D and of the fundamental modules in type C. We also give an independent derivation of the character formulas for these representations in the context of the RTT presentation of the Yangians. In all cases the generators of the W-algebras correspond to the recently constructed elements of the Feigin-Frenkel centers via an affine version of the Harish-Chandra isomorphism.

研究动机与目标

• 明确杨代数在临界水平下与经典W代数之间关系的显式表达。
• 利用基洛维奇–雷谢蒂欣模的特征标，为B、C、D型构造经典W代数的显式生成元。
• 在杨代数的RTT表示下，独立推导这些模的特征标公式。
• 证明W代数的生成元通过仿射哈里什-钱德拉同构与费金–弗伦克中心元素相对应。

提出的方法

• 利用杨代数的RTT表示，推导B、C、D型基洛维奇–雷谢蒂欣模的特征标公式。
• 应用仿射哈里什-钱德拉同构，将费金–弗伦克中心的生成元映射到经典W代数中的元素。
• 通过环代数中某些算子的对称张量的迹，构造经典W代数的生成元。
• 将这些生成元的像表示为谱参数中的对称多项式，特别是阶乘完全对称函数和初等对称函数。
• 利用阶乘对称函数的刻画定理，验证所构造的W代数元素与已知的对称函数表达式相等。
• 通过筛选算子和临界水平下真空模的结构，将经典W代数定义为U(t⁻¹h[t⁻¹])的子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用基洛维奇–雷谢蒂欣模的杨代数特征标，在B、C、D型中生成经典W代数？
• RQ2 通过仿射哈里什-钱德拉同构得到的经典W代数生成元的显式形式是什么？
• RQ3 杨代数中卡西米尔元的哈里什-钱德拉像如何与谱参数中的对称函数相关联？
• RQ4 能否在杨代数的RTT表示下，独立推导C型中基本模和基洛维奇–雷谢蒂欣模的特征标公式？
• RQ5 所构造的W代数生成元是否与移位权中的已知阶乘对称函数一致？

主要发现

• 对于Bₙ型，卡西米尔元γ₂ₖ(N) tr S⁽²ᵏ⁾(F₁−k)⋯(F₂ₖ+𝑘−1)的哈里什-钱德拉像为排除索引n的子集之和，且与阶乘完全对称函数∑₁≤ⱼ₁≤⋯≤ⱼₖ≤ₙ (lⱼ₁²−(ⱼ₁−1/2)²)⋯(lⱯₖ²−(ⱼₖ+𝑘−3/2)²)一致，其中lᵢ=μᵢ+n−i+1/2。
• 对于Dₙ型，同一卡西米尔元的像为排除n和n′的子集之和，且与Bₙ型中的阶乘完全对称函数表达式一致。
• 对于Cₙ型，卡西米尔元γ₂ₖ(−2n) tr S⁽²ᵏ⁾(F₁+𝑘)⋯(F₂ₖ−𝑘+1)的像为{1,…,n,0,n′,…,1′}中有序子集之和，且等于阶乘初等对称函数(−1)ᵏ∑₁≤ⱼ₁<⋯<ⱼₖ≤ₙ (lⱼ₁²−ⱼ₁²)⋯(lⱼₖ²−(ⱼₖ−𝑘+1)²)，其中lᵢ=μᵢ+n−i+1。
• 所构造的W代数生成元被证明为lᵢ²的k次对称多项式，其高阶部分与完全或初等对称多项式一致。
• 通过阶乘对称函数的刻画定理，利用对称性及在分拆下的消失性，验证了W代数元素与阶乘对称函数的一致性。
• 本结果将先前关于A型的工作推广至所有经典类型，为从杨代数表示理论统一构造W代数生成元提供了方法。