[论文解读] Yet another notion of irregularity through small ball estimates

Marco Romito, Leonardo Tolomeo|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文引入了一种新的路径不规则性概念——小球估计（Small Ball Estimate, SBE），通过控制路径的占位测度来控制小球的大小。该研究证明SBE可推出占位测度的Besov正则性，将噪声正则化结果从Fourier-Lebesgue空间推广至一般Besov空间，并表明在简单的局部非确定性条件下，SBE对随机过程成立，包括分数布朗运动（$ H < 1/d $）。该框架使得在Besov空间中对奇异漂移的随机微分方程（SDE）实现路径级求解成为可能。

ABSTRACT

We introduce a new notion of irregularity of paths, in terms of control of growth of the size of small balls by means of the occupation measure of the path. This notion ensures Besov regularity of the occupation measure and thus extends the analysis of Catellier and Gubinelli (2016) to general Besov spaces. On stochastic processes this notion is granted by suitable properties of local non-determinism.

研究动机与目标

• 开发一种新的路径不规则性概念，以推广现有框架（如$(\rho,\gamma)$-不规则性）。
• 建立SBE正则性蕴含占位测度的Besov正则性，将[CG16]中Fourier-Lebesgue框架的结果推广至Besov空间。
• 证明SBE在双Lipschitz重参数化下不变，并在正则扰动下稳定。
• 证明在简单的局部非确定性条件下，SBE对随机过程成立，特别是对分数布朗运动成立。
• 通过SBE所诱导的占位测度正则性，实现对奇异漂移SDE的路径级分析。

提出的方法

• 将SBE条件定义为通过路径的占位测度对小球测度的控制。
• 利用极大函数估计与插值技术，证明SBE蕴含占位测度在Besov空间中的正则性。
• 通过控制此类映射下的测度畸变，证明SBE在双Lipschitz重参数化下的不变性。
• 利用范数估计与测度比较，证明SBE在$C^1$扰动下的稳定性。
• 运用Malliavin微积分与矩估计，推导随机过程增量密度的界。
• 将这些界应用于证明分数布朗运动及其驱动SDE解的SBE正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的不规则性概念，使得其能保证占位测度的Besov正则性，而不仅限于[CG16]的Fourier-Lebesgue框架？
• RQ2 SBE条件在双Lipschitz重参数化下是否不变，且在正则扰动下是否稳定？
• RQ3 在增量分布律满足何种条件下，随机过程满足SBE条件？
• RQ4 SBE正则性如何实现对Besov空间中奇异漂移SDE的路径级求解？
• RQ5 由分数布朗运动驱动的SDE解的占位测度的时间正则性如何？

主要发现

• SBE条件等价于占位测度的Besov正则性，使得噪声正则化结果可推广至一般Besov空间。
• SBE在双Lipschitz重参数化下不变，并在$C^1$扰动下稳定，具有鲁棒性。
• 对于赫斯指数$H < 1/d$的分数布朗运动，其占位测度属于$C^{p\text{-var}}([a,T];\textsc{S\kern-1.19995pt\raise-1.29167pt\hbox{B}\kern-1.19995pt\hbox{E}}}^{\alpha,2}_{2})$，其中$\alpha < \frac{1}{2H} - \frac{d}{2}$且$p > 1 - \frac{1}{2}H(d + 2\alpha)$。
• 当$d \leq 3$且$H \in (\frac{1}{4},1)$满足$H < \frac{1}{d}$时，由fBm驱动的SDE解的占位测度属于$V^p([a,T];\textsc{S\kern-1.19995pt\raise-1.29167pt\hbox{B}\kern-1.19995pt\hbox{E}}}^{\alpha,2}_{2})$，其中$p > 1 - \frac{1}{2}H(d + 2\alpha)$。
• SBE由局部非确定性保证；对高斯过程而言，其简化为对增量方差的简单条件。
• 该框架使得在满足适当可积性与正则性条件时，对Besov空间中漂移项的SDE实现路径级存在性与唯一性，如推论7.1所示，当$f \in C^{r_2-\text{var}}(B^{\alpha_2}_{p_2,q_2})$时成立。