[论文解读] Yetter-Drinfeld modules over bosonizations of dually paired Hopf algebras

I. Heckenberger, Henriette Schneider|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文在具有双射反向元的 Hopf 代数 H 上的 Yetter-Drinfeld 族中，建立了对偶配对 Hopf 代数的玻色化结构上，有理 Yetter-Drinfeld 模之间的辫子张量同构。该同构提供了一个自然的范畴框架，从而为半单 Yetter-Drinfeld 模的 Nichols 代数中反射的存在性提供了概念性证明，并表明反射算子通过同构从对偶对的玻色化中产生，进而导出了 Weyl 群胚结构的新推导。

ABSTRACT

Let $(R^{\vee},R)$ be a dual pair of Hopf algebras in the category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra $H$ with bijective antipode. We show that there is a braided monoidal isomorphism between rational left Yetter-Drinfeld modules over the bosonizations of $R$ and of $R^{\vee}$, respectively. As an application of this very general category isomorphism we obtain a natural proof of the existence of reflections of Nichols algebras of semisimple Yetter-Drinfeld modules over $H$. Key words: Hopf algebras, quantum groups, Weyl groupoid

研究动机与目标

• 在具有双射反向元的 Hopf 代数 H 上的 Yetter-Drinfeld 族中，建立对偶配对 Hopf 代数的玻色化结构上，有理左 Yetter-Drinfeld 模之间的辫子张量同构。
• 为半单 Yetter-Drinfeld 模的 Nichols 代数中反射算子的存在性，提供一个概念性、自然的证明。
• 表明反射操作对应于底层 Hopf 代数对偶性所导出的辫子张量函子的应用。
• 证明玻色化对偶对在 Nichols 代数的原始模与反射模之间诱导出一个同构。
• 利用范畴同构重新推导 Nichols 代数的 Weyl 群胚结构，为其中的构造提供了新视角。

提出的方法

• 利用 H 上 Yetter-Drinfeld 族中 Hopf 代数 R 与 R∨ 的对偶性，构造右与左相对 Yetter-Drinfeld 模之间的张量同构。
• 证明该同构在相对 Yetter-Drinfeld 模范畴的 Drinfeld 中心中诱导出辫子张量等价。
• 证明该同构保持了玻色化 R#H 与 R∨#H 上有理 Yetter-Drinfeld 模的子范畴。
• 将函子 (Ω, ω) 定义为 R#H 与 R∨#H 上有理左 Yetter-Drinfeld 模范畴之间的辫子张量同构。
• 利用该同构，将 Nichols 代数 B(M) 关于 M_i 的余不变代数 K_i^M 与通过玻色化关联的反射模的 Nichols 代数联系起来。
• 应用该同构，证明 Ω(K_i^M) # B(M_i*) ≅ B(R_i(M)) 作为 H 上 Yetter-Drinfeld 族中的辫子 Hopf 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有双射反向元的 Hopf 代数 H 上的 Yetter-Drinfeld 族中，对偶配对 Hopf 代数的玻色化结构上，有理 Yetter-Drinfeld 模范畴之间是否存在辫子张量同构？
• RQ2 该同构能否为半单 Yetter-Drinfeld 模的 Nichols 代数中反射算子的存在性提供自然解释？
• RQ3 半单 Yetter-Drinfeld 模的反射与其底层 Hopf 代数在玻色化构造中的对偶性有何关联？
• RQ4 同构 (Ω, ω) 在应用于余不变代数及其玻色化时，是否保持 Hopf 代数结构？
• RQ5 能否利用玻色化模之间的范畴同构，重构 Nichols 代数的 Weyl 群胚结构？

主要发现

• 在玻色化 R#H 与 R∨#H 上，有理左 Yetter-Drinfeld 模范畴之间存在辫子张量同构 (Ω, ω)。
• 同构 (Ω, ω) 将 Hopf 代数映射为 Hopf 代数，且对任意 X 属于该范畴，满足 Ω(X) = X 作为 H-模。
• Nichols 代数 B(M) 关于 M_i 的余不变代数 K_i^M 是 R#H 上有理 Yetter-Drinfeld 模范畴中的 Hopf 代数。
• 同构满足 Ω(K_i^M) # B(M_i*) ≅ B(R_i(M)) 作为 H 上 Yetter-Drinfeld 族中的辫子 Hopf 代数。
• 反射算子 R_i(M) 通过将同构 (Ω, ω) 应用于余不变代数及其对偶而自然产生，从而为 Weyl 群胚结构提供了新推导。
• 该构造证实了 R_i^2(M) ≅ M，且广义 Cartan 矩阵在反射下保持不变，如推论 8.11 所示。