[论文解读] Yetter-Drinfeld modules over weak Hopf algebras and the center construction

S. Caenepeel, Dingguo Wang+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 26

一句话总结

该论文证明了当代数是有限生成且投射时，弱霍普夫代数上雅特-德林费尔德模在有 braided monoidal categories 下同构于模范畴的中心，以及德林费尔德双代数的模范畴。该研究通过对偶性和缠绕结构将经典结果推广至弱双代数，表明雅特-德林费尔德模是弱 Doi-Hopf 模和弱缠绕模，并在有限生成投射情形下证明了对偶性。

ABSTRACT

We introduce Yetter-Drinfeld modules over a weak Hopf algebra $H$, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the center of the category of $H$-modules. The categories of left-left, left-right, right-left and right-right Yetter-Drinfeld modules are isomorphic as braided monoidal categories. Yetter-Drinfeld modules can be viewed as weak Doi-Hopf modules, and, a fortiori, as weak entwined modules. If $H$ is finitely generated and projective, then we introduce the Drinfeld double using duality results between entwining structures and smash product structures, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the category of modules over the Drinfeld double.

研究动机与目标

• 将雅特-德林费尔德模理论从经典霍普夫代数推广至交换环上的弱霍普夫代数。
• 证明当 H 为弱霍普夫代数时，四类雅特-德林费尔德模（左-左、左-右、右-左、右-右）在 braided monoidal categories 下同构。
• 建立弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模为弱 Doi-Hopf 模和弱缠绕模，从而实现德林费尔德双代数的新构造。
• 证明有限生成投射的弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模范畴具有对偶结构。

提出的方法

• 使用弱中心构造，证明雅特-德林费尔德模范畴与弱双代数 H 上模范畴的弱中心同构。
• 应用缠绕结构与 smash 乘积结构之间的对偶性结果，将德林费尔德双代数定义为 H 与它的对偶 H* 的弱 smash 乘积。
• 通过结构同构证明所构造的德林费尔德双代数同构于 [1,16] 中的德林费尔德双代数，且与 [17] 中的反同构。
• 利用 H 在其目标空间 H_t 上的双代数胚结构，重新诠释雅特-德林费尔德模，证明其与标准定义等价。
• 利用单峰范畴 ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{t}, H_{t}) 与 ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{H_{t}}, H_{t}) 之间的同构，等价其弱左中心，从而等价于相应的雅特-德林费尔德模范畴。
• 在双代数胚框架下，利用典范映射 can: H⊗H → H⊗_{H_t}H 验证雅特-德林费尔德相容性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱霍普夫代数上的左-左、左-右、右-左、右-右雅特-德林费尔德模范畴在 braided monoidal 等价性方面如何相互关联？
• RQ2 能否通过缠绕结构与 smash 乘积结构之间的对偶性，重构有限生成且投射的弱霍普夫代数的德林费尔德双代数？
• RQ3 弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模是否等价于弱 Doi-Hopf 模或弱缠绕模？
• RQ4 有限生成投射的弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模范畴是否具有对偶结构？
• RQ5 弱双代数的中心构造与雅特-德林费尔德模范畴之间有何关系？

主要发现

• 弱霍普夫代数上的左-左、左-右、右-左、右-右雅特-德林费尔德模范畴在 braided monoidal categories 下同构。
• H-模范畴的弱中心同构于 H 上的雅特-德林费尔德模范畴，且当 H 为弱霍普夫代数时，该弱中心等于标准中心。
• 弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模是弱 Doi-Hopf 模和弱缠绕模，其定义与 Böhm 等人的定义一致。
• 有限生成且投射的弱霍普夫代数 H 的德林费尔德双代数同构于弱 smash 乘积 H#H*，且该构造与 [1,16] 中的德林费尔德双代数同构，与 [17] 中的反同构。
• 有限生成投射的弱霍普夫代数上的雅特-德林费尔德模范畴具有对偶结构，推广了有限维霍普夫代数的性质。
• H 在其目标空间 H_t 上的双代数胚结构允许将 H 上的雅特-德林费尔德模重新表述为 H_t-双代数胚上的雅特-德林费尔德模，且二者范畴等价。