[论文解读] Z_2 indices of odd symmetric Fredholm operators

Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Topological Materials and Phenomena被引用 3

一句话总结

本文提出了奇对称弗雷德霍姆算子的 Z₂ 指数理论——即在满足 I∗TI = T∗ 的实酉算子 I（满足 I² = −1）作用下的可分复希尔伯特空间上的有界线性算子。尽管经典诺特指标为零，本文证明了核维数的奇偶性是一种稳定的同伦不变量，从而导出了一个 Z₂ 指数，该指数推广了戈伯格-克雷因定理，并为具有奇时间反演对称性的二维拓扑绝缘体提供了拓扑不变量，其中非平凡的 Z₂ 指数意味着非零的自旋陈数。

ABSTRACT

A bounded operator T on a separable, complex Hilbert space is said to be odd sym-metric if I∗T tI = T where I is a real unitary satisfying I2 = −1 and T t denotes the transpose of T. The Noether index of an odd symmetric Fredholm operator vanishes, but the parity of the dimension of its kernel is shown to be a homotopy invariant that is stable under compact perturbations. The class of real skew-adjoint Fredholm operators for which Atiyah and Singer defined Z2-indices is a subset of infinite codimension within the set of odd symmetric Frehholm operators. As first example for an odd Z2-index theo-rem, a Z2-version of the Gohberg-Krein theorem is presented. An even Z2-index theorem leads to a phase label for two-dimensional topological insulators with odd time-reversal symmetry, for which non-trivial Z2-index enforces non-zero spin Chern numbers. 1 Resumé Let H be a separable, complex Hilbert space and I a real skew-adjoint unitary operator on H. Skew-adjointness of I is equivalent to I2 = −1 and implies that the spectrum of I is {−ı, ı}. Such an I exists if and only if H is even or infinite dimensional. One may assume to be I in the normal form I = ( 0 −11 0), see Proposition 6 below. This paper is about bounded linear operators T ∈ B(H) on H which are odd symmetric w.r.t. I in the sense that I ∗ T I = T ∗ ⇐ ⇒ I ∗ T t I = T, (1) where the complex conjugate T is defined in terms of complex conjugation C on H by T = CTC, and the transpose of T is T t = (T)∗. The set of bounded odd symmetric operators is denoted by B(H, I). Condition (1) looks like a quaternionic condition, but actually a quaternionic operator rather satisfies I∗TI = T and the set of quaternionic operators forms a multiplicative group, while B(H, I) does not. However, the following can easily be checked. Proposition 1 B(H, I) is a linear space and

研究动机与目标

• 为奇对称弗雷德霍姆算子定义并研究 Z₂ 指数，此时经典诺特指标为零。
• 在紧致扰动下，确立核维数奇偶性作为稳定同伦不变量。
• 将戈伯格-克雷因定理推广至奇对称算子的 Z₂ 设置。
• 将 Z₂ 指数与凝聚 matter 物理中的拓扑不变量（特别是具有奇时间反演对称性的二维拓扑绝缘体中的自旋陈数）联系起来。
• 阐明奇对称弗雷德霍姆算子与阿蒂亚-辛格指标理论中使用的实斜自伴弗雷德霍姆算子类之间的关系。

提出的方法

• 通过条件 I∗TI = T∗ 定义奇对称算子 T ∈ B(H)，其中 I 是满足 I² = −1 的实酉算子。
• 利用转置运算 Tᵗ = (T)∗ 和复共轭，将对称性条件用 Tᵗ 表示。
• 证明核维数奇偶性在紧致扰动下保持不变，从而确立 Z₂ 指数。
• 作为奇 Z₂ 指数定理的第一个例子，构建戈伯格-克雷因定理的 Z₂ 版本。
• 证明偶算子的 Z₂ 指数在具有奇时间反演对称性的二维拓扑绝缘体中导致一个相位标签。
• 将 Z₂ 指数与自旋陈数联系起来，表明非平凡指标意味着非零的自旋陈数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典诺特指标为零的情况下，奇对称弗雷德霍姆算子的核维数奇偶性是否可作为紧致扰动下的稳定同伦不变量？
• RQ2 奇对称弗雷德霍姆算子的 Z₂ 指数如何推广经典戈伯格-克雷因定理？
• RQ3 奇对称弗雷德霍姆算子类与阿蒂亚-辛格理论中使用的实斜自伴弗雷德霍姆算子类之间有何关系？
• RQ4 偶算子的 Z₂ 指数如何导致具有奇时间反演对称性的二维拓扑绝缘体中的拓扑相位标签？
• RQ5 在这些系统中，非平凡的 Z₂ 指数是否必然意味着非零的自旋陈数？

主要发现

• 奇对称弗雷德霍姆算子的核维数奇偶性在紧致扰动下是稳定的同伦不变量。
• 由核维数奇偶性定义的 Z₂ 指数推广了戈伯格-克雷因定理至奇对称情形。
• 具有 Z₂ 指数的实斜自伴弗雷德霍姆算子类是奇对称弗雷德霍姆算子集合中 codimension 无限的子集。
• 偶 Z₂ 指数定理为具有奇时间反演对称性的二维拓扑绝缘体提供了相位标签。
• 在这些绝缘体中，非平凡的 Z₂ 指数强制自旋陈数非零，从而确立了拓扑约束。
• Z₂ 指数为具有奇时间反演对称性的系统中的拓扑相分类提供了鲁棒不变量。