[论文解读] Z/2Z topological order and Majorana doubling in Kitaev Chain

Rukhsan Ul Haq, Louis H. Kauffman|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Advanced Condensed Matter Physics被引用 2

一句话总结

本文研究了 Kitaev 链模型中的 Z/2Z 拓扑序与马约拉纳加倍现象，展示了两种不同的机制——费米子模式算符与反对易对称算符——为马约拉纳费米子量子比特提供拓扑保护。本文建立了一个通用框架，用于理解晶格哈密顿量中的拓扑保护，证明了这两种方法的等价性及其在保持简并基态方面的作用。

ABSTRACT

The Kitaev chain model exhibits topological order that manifests as topological degeneracy, Majorana edge modes and $Z_{2}$ topological invariance of the abulk spectrum. This model can be obtained from a transverse field Ising model(TFIM) using the Jordan-Wigner transformation. TFIM has neither topological degeneracy nor any edge modes. Topological degeneracy associated with topological order is central to topological quantum computation. In this paper we will explore topological protection of the ground state manifold in the case of Majorana fermion models which exhibit $Z_{2}$ topological order. We will show that there are at least two different ways to understand this topological protection of Majorana fermion qubits: one way is based on fermionic mode operators and the other is based on anti-commuting symmetry operators. We will also show how these two different ways are related to each other. We provide a very general approach of understanding the topological protection of Majorana fermion qubits in the case of lattice Hamiltonians.

研究动机与目标

• 理解 Kitaev 链模型中马约拉纳费米子量子比特的拓扑保护起源。
• 阐明 Z/2Z 拓扑序如何通过拓扑简并与马约拉纳边界模式在 Kitaev 链中体现。
• 比较并统一描述拓扑保护的两种不同理论框架——费米子模式算符与反对易对称算符。
• 发展一种可推广的方法，适用于表现出 Z/2Z 拓扑序的晶格哈密顿量。

提出的方法

• 利用 Jordan-Wigner 变换将横场伊辛模型（TFIM）映射到 Kitaev 链，建立两者的联系。
• 分析 Kitaev 链的体态能谱，识别 Z_2 拓扑不变量。
• 应用费米子模式算符描述基态简并空间及其拓扑保护。
• 引入反对易对称算符作为保护简并基态的替代机制。
• 证明费米子模式算符方法与反对易对称算符方法的等价性。
• 建立适用于表现出 Z/2Z 拓扑序的晶格模型的通用拓扑保护框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管母模型横场伊辛模型中不存在 Z/2Z 拓扑序，Kitaev 链模型中如何涌现出 Z/2Z 拓扑序？
• RQ2 Kitaev 链中为马约拉纳费米子量子比特提供拓扑保护的两种不同机制是什么？
• RQ3 费米子模式算符方法与反对易对称算符方法在保护基态简并方面有何关联？
• RQ4 表现出 Z/2Z 拓扑序的晶格哈密顿量中，拓扑保护的一般结构是什么？
• RQ5 Kitaev 链的拓扑简并如何与其实体能谱不变量相关联？

主要发现

• Kitaev 链表现出由体态能谱在 Z_2 对称性下不变性所决定的 Z/2Z 拓扑序，其特征为拓扑简并与马约拉纳边界模式。
• 基态简并空间的拓扑保护通过两种等价机制实现：费米子模式算符与反对易对称算符。
• 费米子模式算符方法直接建立了零能马约拉纳模式与简并基态之间的联系。
• 反对易对称算符方法揭示了一种保护基态简并的非局域对称结构。
• 两种方法在数学上等价，对称算符生成与费米子模式相同的拓扑不变量。
• 建立了一个适用于晶格哈密顿量的通用拓扑保护框架，其适用范围不仅限于 Kitaev 链，还可推广至其他具有 Z/2Z 拓扑序的系统。