[论文解读] $\Z_3$-orbifold construction of the Moonshine vertex operator algebra and some maximal $3$-local subgroups of the Monster

Hsian-Yang Chen, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过从Leech格点VOA出发，利用一个无不动点的3阶等距的提升，构造了Moonshine顶点算子代数（VOA）。通过分析特殊子VOA——$V_{\Lambda}^{\tau}$ 和 $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$——的稳定子子群，作者识别出Monster群的两个极大3-局部子群：$3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$ 和 $3^8.\Omega^{-}(8,3).2$，并证明所构造VOA的自同构群同构于Monster群，从而确认其同构于Moonshine VOA。

ABSTRACT

In this article, we describe some maximal $3$-local subgroups of the Monster simple group using vertex operator algebras (VOA). We first study the holomorphic vertex operator algebra obtained by applying the orbifold construction to the Leech lattice vertex operator algebra and a lift of a fixed-point free isometry of order $3$ of the Leech lattice. We also consider some of its special subVOAs and study their stabilizer subgroups using the symmetries of the subVOAs. It turns out that these stabilizer subgroups are $3$-local subgroups of its full automorphism group. As one of our main results, we show that its full automorphism group is isomorphic to the Monster simple group by using a $3$-local characterization and that the holomorphic VOA is isomorphic to the Moonshine VOA. This approach allows us to obtain relatively explicit descriptions of two maximal $3$-local subgroups of the shape $3^{1+12}.2.\Suz{:}2$ and $3^8.Ω^-(8,3).2$ in the Monster simple group.

研究动机与目标

• 通过$Χ_3$-orbifold方法提供Moonshine顶点算子代数（VOA）的新构造。
• 利用Moonshine VOA中子VOA的对称性，明确描述Monster群的极大$3$-局部子群。
• 通过证明所构造VOA的完整自同构群同构于Monster群，建立其与Moonshine VOA的同构关系。
• 通过orbifolded VOA的自同构群验证Monster群的$3$-局部特征。

提出的方法

• 对Leech格点VOA应用$Χ_3$-orbifold构造，使用一个3阶无不动点等距的提升，得到一个幺正VOA $V^\sharp$。
• 将$V^\sharp$识别为$V_{\Lambda}^{\tau}$ 和 $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ 的$Χ_3$-加权简单电流扩张，其中$K_{12}$为Coxeter-Todd格。
• 利用简单电流扩张中的融合规则与提升理论，确定子VOA的自同构群，得到$3^{12}.2\mathrm{Suz}:2$ 与 $(\Omega^{-}_{8}(3):2)\wr\mathbb{Z}_2$。
• 计算$\operatorname{Aut}V^\sharp$中阶为$3$和$3^8$的初等阿贝尔3-子群的法包，这些子群稳定子VOA $V_{\Lambda}^{\tau}$ 与 $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$。
• 应用$3$-局部特征定理，得出$\operatorname{Aut}V^\sharp \cong \mathbb{M}$，即Monster群。
• 利用不变双线性形式的唯一性与$\mathbb{M}$-模同构，证明$V^\sharp \cong V^\natural$作为VOA。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moonshine VOA能否通过Leech格点VOA的$\mathbb{Z}_3$-orbifold构造得到？
• RQ2 在Moonshine VOA中，哪些子VOA的稳定子可实现为Monster群的极大$3$-局部子群？
• RQ3 $\mathbb{Z}_3$-orbifold化VOA $V^\sharp$ 的自同构群是否与Monster群一致？
• RQ4 能否通过表示论与群论方法建立$V^\sharp$与Moonshine VOA之间的同构？

主要发现

• 通过Leech格点VOA的$\mathbb{Z}_3$-orbifold构造出的幺正VOA $V^\sharp$ 同构于Moonshine VOA $V^\natural$。
• 所构造VOA $V^\sharp$ 的完整自同构群同构于Monster群$\mathbb{M}$，通过$3$-局部特征定理得到确认。
• Monster群的两个极大$3$-局部子群被显式实现：$3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$ 与 $3^8.\Omega^{-}(8,3).2$。
• 这些子群作为$\operatorname{Aut}V^\sharp$中稳定子VOA $V_{\Lambda}^{\tau}$ 与 $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ 的初等阿贝尔3-子群的法包而出现。
• $\operatorname{Aut}V^\sharp$中$V_{\Lambda}^{\tau}$的稳定子群形状为$3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$，而$(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$的稳定子群形状为$3^8.\Omega^{-}(8,3).2$。
• $V_{\Lambda}^{\tau}$中存在$\mathbb{Z}_3$-不变的Ising向量，证实了$3$-局部特征的必要条件(e)，支持其与$V^\natural$的同构。