[论文解读] Z_3 symmetry and W_3 algebra in lattice vertex operator algebras

Chongying Dong, Ching Hung Lam+3 more|ArXiv.org|Feb 25, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文通过 orbifold 理论和共轭构造，在格点顶点算子代数 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 中构造了中心荷为 $6/5$ 的 $W_3$ 代数。证明了其有理性，通过 Zhu 代数分析分类出 20 个不可约模，并计算了它们的特征标，确立了 $M^\tau$ 同构于 $[Z_3^{(5)}]$ 代数，且通过一个权为 12 的奇异向量确认了 $C_2$-余有限性与有理性。

ABSTRACT

The W_3 algebra of central charge 6/5 is realized as a subalgebra of the vertex operator algebra V_{\sqrt{2}A_2} associated with a lattice of type \sqrt{2}A_2 by using both coset construction and orbifold theory. It is proved that W_3 is rational. Its irreducible modules are classified and constructed explicitly. The characters of those irreducible modules are also computed.

研究动机与目标

• 将中心荷为 $6/5$ 的 $W_3$ 代数实现为格点顶点算子代数 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 的子代数。
• 对该 $W_3$ 代数的所有不可约模进行分类并证明其有理性。
• 利用模不变性与 orbifold 理论计算不可约模的特征标。
• 确立固定点子代数 $M^\tau$ 同构于先前分类中给出的 $[Z_3^{(5)}]$ 代数。
• 通过权为 12 的奇异向量与 Zhu 代数结构，证明 $W_3$ 代数的 $C_2$-余有限性与有理性。

提出的方法

• 通过 orbifold 理论与共轭构造，在 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 中构造 $W_3$ 代数，识别出中心荷为 $6/5$ 的 Virasoro 元素 $\omega = \omega^1 + \omega^2$。
• 在 $\tau$-不变子代数 $M^\tau$ 中识别出一个权为 3 的生成元 $J$，使得 $L(n) = \omega_{n+1}$ 与 $J(n) = J_{n+2}$ 满足 $W_3$ 代数的对易关系。
• 利用 Zhu 代数理论，通过计算映射 $\mathbb{C}[x,y] \to A(\mathcal{W})$ 的核（其中 $x \mapsto [\omega]$，$y \mapsto [J]$）来分类不可约模。
• 利用一个不变的正定厄米特型，证明权为 12 的奇异向量 $\mathbf{v}$ 在 $A(\mathcal{W})$ 中为零，从而表明其像属于核理想 $\mathcal{I}$。
• 使用计算机代数系统 Risa/Asir 计算奇异向量 $\mathbf{v}$ 与理想 $\mathcal{I}$ 的显式形式。
• 应用 orbifold 理论中迹函数的模不变性，计算 20 个不可约 $M^\tau$-模的特征标。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 orbifold 与共轭构造，将中心荷为 $6/5$ 的 $W_3$ 代数实现为 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 的子代数？
• RQ2 该 $W_3$ 代数有多少个非等价的不可约模，其结构如何？
• RQ3 中心荷为 $c=6/5$ 的 $W_3$ 代数是否具有 $C_2$-余有限性与有理性？权为 12 的奇异向量在此证明中起什么作用？
• RQ4 不可约模的特征标如何与已知的模数据相关联？能否通过 orbifold 理论计算它们？
• RQ5 固定点子代数 $M^\tau$ 是否同构于先前工作中分类的 $[Z_3^{(5)}]$ 代数？

主要发现

• 中心荷为 $6/5$ 的 $W_3$ 代数通过 orbifold 理论与共轭构造被实现为 $V_{\sqrt{2}A_2}$ 的子代数，其 Virasoro 元素为 $\omega = \omega^1 + \omega^2$，并具有权为 3 的生成元 $J$。
• 该 $W_3$ 代数恰好有 20 个非等价的不可约模，其中 8 个属于未扭的 $M$-模，6 个属于 $\tau$-扭的模，6 个属于 $\tau^2$-扭的 $M$-模。
• Zhu 代数 $A(\mathcal{W})$ 由映射 $\mathbb{C}[x,y] \to A(\mathcal{W})$ 的核确定，该核由四个多项式生成，这些多项式源于权为 12 的奇异向量 $\mathbf{v}$ 的消失性。
• 权为 12 的奇异向量 $\mathbf{v}$ 由于存在一个不变的正定厄米特型而在 $A(\mathcal{W})$ 中为零，从而推出 $[\mathbf{v}] = 0$ 且 $[J(-1)\mathbf{v}] = [J(-2)\mathbf{v}] = [J(-1)^2\mathbf{v}] = 0$。
• 该 $W_3$ 代数被证明为 $C_2$-余有限且有理的，其证明依赖于奇异向量与不可约模的分类。
• 20 个不可约 $M^\tau$-模的特征标通过 orbifold 理论中迹函数的模不变性被计算出来，其特征值与文献 [14] 中 $p=5$ 时的 $\Delta$ 与 $w$ 值一致，从而确认了 $M^\tau \cong [Z_3^{(5)}]$。