[论文解读] $Z/m$-graded Lie algebras and perverse sheaves, II

G. Lusztig, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了一个组合框架，用于在 $ frac{\mathbb{Z}}{m}$-分次李代数的幂零锥上参数化 $G_{\ubar{0}}$-等变的奇异层，使用一个 $ frac{\mathbb{Q}(v)}{\text{的向量空间}}$ $ frac{\mathbb{V}}{}$，其上带有由 Ext-群导出的对合形式。关键结果是：在固定块中，此类奇异层的集合与 signed 基 $ frac{\mathbb{B}'}{}$ 上的 $ frac{\pm}{\text{作用}}$ 的轨道之间存在自然双射，将 Springer 对应关系推广到了分次情形。

ABSTRACT

We consider a fixed block for the equivariant perverse sheaves with nilpotent support in the $1$-graded ccomponent of a semisimple cyclically graded Lie algebra. We give a combinatorial parametrization of the simple objects in that block.

研究动机与目标

• 在 $ frac{\mathbb{Z}/m}{\text{分次设定}}$ 下，为 $ frac{\mathfrak{g}_{\delta}^{\text{nil}}}{\text{上 } G_{\ubar{0}}\text{-等变的简单奇异层}}$ 提供一个组合参数化。
• 通过几何与组合数据，将 $ frac{\mathbb{Z}}{\text{分次李代数的 Springer 对应关系}}$ 推广到 $ frac{\mathbb{Z}/m}{\text{分次情形}}$。
• 在该设定下，建立奇数上同调层的奇异层复形的纯性与消失性结果。
• 定义一个 $ frac{\mathbb{Q}(v)}{\text{向量空间}}$ $ frac{\mathbb{V}}{}$，其上带有对合形式与对合自同态，并构造一个符号基 $ frac{\mathbb{B}'}{}$，其 $ frac{\pm}{\text{轨道}}$ 索引块。

提出的方法

• 为一个块 $^\xi\mathfrak{B}$ 构造一个 $ frac{\mathbb{Q}}{\text{向量空间}}$ $ frac{\mathbb{E}}{}$，其上带有与该块相关的超平面排列，其补集形成索引螺旋诱导的房间。
• 从这些房间定义一个 $ frac{\mathbb{Q}(v)}{\text{向量空间}}$ $ frac{\mathbb{V}'}{}$，其上带有通过 $G_{\ubar{0}}$-等变 Ext-群定义的对合形式 $(:)$。
• 形成商空间 $ frac{\mathbb{V} = \mathbb{V}' / \text{rad}(\,(:\,)}{}$，其中根空间在左右两侧一致，确保 $ frac{\mathbb{V}}{}$ 上的对合形式定义良好。
• 引入一个对合自同态 $\bar{\cdot}$ 与 $ frac{\mathbb{V}}{}$ 中的 $\mathcal{A}$-格 $\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$，二者均通过组合方式定义。
• 将符号基 $\mathbb{B}' \subset \mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ 定义为在对合映射下不变且满足 $ (b:b) \in 1 + v\mathbb{Z}[[v]] $ 的元素，并通过几何论证证明其定义良好。
• 建立 $\mathbb{B}' / \pm$ 与块 $^\xi\mathfrak{B}$ 之间的自然双射，为奇异层提供一个组合索引集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ frac{\mathbb{Z}/m}{\text{分次设定}}$ 下，如何对 $ frac{\mathfrak{g}_{\delta}^{\text{nil}}}{\text{中固定块的简单 } G_{\ubar{0}}\text{-等变奇异层}}$ 进行组合参数化？
• RQ2 与块相关联的 $ frac{\mathbb{Q}(v)}{\text{向量空间}}$ $ frac{\mathbb{V}}{}$ 的结构是什么？其对合形式如何与螺旋诱导之间的 Ext-群相关？
• RQ3 在 $ frac{\mathbb{Z}/m}{\text{分次情形}}$ 下，奇异层复形的奇数上同调是否如无分次情形一样消失？
• RQ4 能否构造一个 $ frac{\mathbb{V}}{}$ 的符号基 $ frac{\mathbb{B}'}{}$，使得其 $ frac{\pm}{\text{轨道}}$ 索引块中的奇异层，从而推广无分次情形？
• RQ5 从 $ frac{\mathbb{Z}}{\text{分次}}$ 到 $ frac{\mathbb{Z}/m}{\text{分次}}$ 设定，上同调层的纯性与消失性性质如何推广？

主要发现

• 块 $^\xi\mathfrak{B}$ 中简单 $G_{\ubar{0}}$-等变奇异层的数量等于 $\dim_{\mathbb{Q}(v)} \mathbb{V}$，其中 $\mathbb{V}$ 是 $\mathbb{V}'$ 关于对合形式的根空间的商。
• 在 $\mathbb{V}'$ 上，对合形式 $(:)$ 的左根与右根一致，确保 $\mathbb{V}$ 继承了一个定义良好的对合形式。
• $\mathbb{V}$ 携带一个自然的对合自同态与一个组合定义的 $\mathcal{A}$-格 $\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$。
• 符号基 $\mathbb{B}'$ 由 $\mathbb{V}_{\mathcal{A}}$ 中满足 $\bar{b} = b$ 且 $ (b:b) \in 1 + v\mathbb{Z}[[v]] $ 的元素组成，其 $\pm$-轨道与块 $^\xi\mathfrak{B}$ 之间存在双射，为奇异层提供参数。
• 任何简单 $G_{\ubar{0}}$-等变奇异层 $A$ 的上同调层 $\mathcal{H}^a(A)$ 在奇数 $a$ 时消失，推广了无分次情形下的结果。
• 螺旋诱导复形 $I_\varpi$ 与诱导层 ${}^\epsilon\text{Ind}(A')$ 仅有偶数度上同调，且为偶数移位的奇异层的直和。