[论文解读] $Z_N$ symmetric chiral Rabi model: a new $N$-level system

Yao-Zhong Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Quantum Information and Cryptography参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对N-水平原子的新型$π}_N$对称手性Rabi模型，通过允许复数能级分裂参数而推广了两水平Rabi模型，同时保持哈密顿量的厄米性。该模型表现出N重简并的异常能量以及由超越函数零点决定的常规能量，通过Bargmann-Hilbert空间分析和$N=3$时的连分数方法获得了精确解。$π}_N$对称性实现了部分对角化，并使谱的解析处理成为可能。

ABSTRACT

We present a new tractable quantum Rabi model for $N$-level atoms by extending the $\mathbb Z_2$ symmetry of the two-state Rabi model. The Hamiltonian is $\mathbb Z_N$ symmetric and allows the parameters in the level separation terms to be complex while remaining hermitian. This latter property means that the new model is {\em chiral}, which makes it differ from any existing $N$-state Rabi models in the literature. The $\mathbb Z_N$ symmetry provides partial diagonalization of the general Hamiltonian. The exact isolated (i.e. exceptional) energies of the model have the Rabi-like form but are $N$-fold degenerate. For the three-state case ($N=3$), we obtain three transcendental functions whose zeros give the regular (i.e. non-exceptional) energies of the model.

研究动机与目标

• 将两水平量子Rabi模型推广至具有可处理的厄米哈密顿量的N-水平系统。
• 构建一个允许在能级分裂项中使用复参数但保持厄米性的模型，以实现手性行为。
• 利用$\mathbb{Z}_N$对称性实现部分对角化与精确可解性。
• 推导$N=3$情况下异常与常规能谱的精确表达式。
• 为多水平原子-腔系统中的实验实现提供基础。

提出的方法

• 使用满足$Z^N = X^N = 1$和$ZX = \omega XZ$（其中$\omega = e^{2\pi i/N}$）的N维泡利类算符$Z$和$X$，推广两水平Rabi模型。
• 构造哈密顿量$H_N = \Omega b^\dagger b + \Delta \sum_{m=1}^{N-1} \alpha_m Z^m + \lambda(X^\dagger b^\dagger + Xb)$，其中$\alpha_m$为复数但满足$\alpha_m^\dagger = \alpha_{N-m}$以确保厄米性。
• 应用$\mathbb{Z}_N$对称性对哈密顿量进行分块对角化，将问题简化为$N$个耦合通道。
• 使用Bargmann-Hilbert空间表示法，将波函数表示为玻色Fock态的幂级数。
• 推导展开系数的递推关系，并通过连分数识别最小解。
• 定义超越函数$F^{(s)}(E^{(s)})$，其零点给出常规能级本征值，$s$用于索引$\mathbb{Z}_N$子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为$N$-水平原子构造一个$π}_N$对称且厄米的哈密顿量，使其允许复数能级分裂参数？
• RQ2 $π}_N$对称性如何实现模型的部分对角化与精确可解性？
• RQ3 在$N=3$情况下，能谱的结构，特别是异常能级与常规能级，是怎样的？
• RQ4 如何通过由递推关系导出的超越函数，解析地确定常规能级？
• RQ5 连分数在Bargmann-Hilbert空间中识别完整波函数解方面起什么作用？

主要发现

• 即使能级分裂参数$\alpha_m$为复数，哈密顿量仍保持$π}_N$对称性与厄米性，使该模型具有手性特征。
• 异常能量——对应于多项式波函数——具有类似Rabi的形式，但为N重简并。
• 对于$N=3$，常规能量由三个超越函数$F^{(s)}(E^{(s)})$的零点决定，这些函数由递推系数的连分数导出。
• 波函数展开系数满足与正交多项式相关的三阶递推关系，从而可系统化求解。
• 该模型为具有手性相互作用的$N$-水平系统提供了一个最小、可处理且物理意义明确的Rabi模型推广。
• 连分数方法可识别Bargmann-Hilbert空间中的完整解，通过求解$F^{(s)}(E^{(s)})=0$获得离散本征值。