[论文解读] Z2Z4-linear codes: rank and kernel

Cristina Fernández-Córdoba, Jaume Pujol+1 more|ArXiv.org|Jul 26, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究了 ℤ₂ℤ₄-线性码的秩和核维数，为这些参数建立了紧致界，并提供了实现所有可行对 (秩, 核维数) 的显式构造。本文证明了此类码的核与张成空间本身也是 ℤ₂ℤ₄-线性码，从而可通过其在 ℤ₂^α × ℤ₄^β 上的加法码结构实现高效计算。

ABSTRACT

A code C is Z2Z4-additive if the set of coordinates can be partitioned into two subsets X and Y such that the punctured code of C by deleting the coordinates outside X (respectively, Y) is a binary linear code (respectively, a quaternary linear code). In this paper, the rank and dimension of the kernel for Z2Z4-linear codes, which are the corresponding binary codes of Z2Z4-additive codes, are studied. The possible values of these two parameters for Z2Z4-linear codes, giving lower and upper bounds, are established. For each possible rank r between these bounds, the construction of a Z2Z4-linear code with rank r is given. Equivalently, for each possible dimension of the kernel k, the construction of a Z2Z4-linear code with dimension of the kernel k is given. Finally, the bounds on the rank, once the kernel dimension is fixed, are established and the construction of a Z2Z4-additive code for each possible pair (r,k) is given.

研究动机与目标

• 确定 ℤ₂ℤ₄-线性码的秩与核维数的可能取值。
• 为实现任意可行秩或核维数的 ℤ₂ℤ₄-线性码提供显式构造。
• 在固定核维数的前提下，建立秩的紧致界，并为每个有效的 (秩, 核) 对构造码。
• 证明 ℤ₂ℤ₄-线性码的核与张成空间本身也是 ℤ₂ℤ₄-线性码，从而可通过逆格雷映射实现高效计算。

提出的方法

• 使用组合枚举技术推导 ℤ₂ℤ₄-线性码的秩与核维数的下界与上界。
• 利用 ℤ₂ℤ₄-加法码的规范生成矩阵形式，参数化相应 ℤ₂ℤ₄-线性码的结构。
• 应用逆格雷映射 Φ⁻¹ 将二元码 C 转换为其 ℤ₂ℤ₄-加法码 ℒ，从而在加法码空间中计算核。
• 将 ℤ₂ℤ₄-线性码 C 的核 K(C) 定义为满足 C ∪ (x + C) = C 的所有向量 x 的集合，并证明 K(C) 是 ℤ₂ℤ₄-线性码。
• 利用生成矩阵 ℒ_G_S = [I_γ | T' | 0 | 0 | 0; 0 | 0 | 0 | 2 | 0; 0 | S' | S_{r,k} | 0 | I_δ] 的结构，构造具有所需 (秩, 核维数) 参数的码。
• 对大小为 δ × (β - γ - δ) 的 ℤ₄ 上子矩阵 S_{r,k} 进行表征，以实现特定的 (秩, 核维数) 对 (r, k)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定类型 (α, β; γ, δ; κ) 的 ℤ₂ℤ₄-线性码，其秩的最紧致下界与上界是什么？
• RQ2 对于任意可行的秩 r 值，能否显式构造出具有该秩的 ℤ₂ℤ₄-线性码？
• RQ3 对于任意可行的核维数 k 值，能否显式构造出具有该核维数的 ℤ₂ℤ₄-线性码？
• RQ4 在固定核维数 k 的前提下，ℤ₂ℤ₄-线性码的可能秩 r 的紧致界是什么？能否为每个这样的 (r, k) 对构造出码？
• RQ5 如何利用底层的 ℤ₂ℤ₄-加法码结构，高效计算 ℤ₂ℤ₄-线性码的核与张成空间？

主要发现

• 类型为 (α, β; γ, δ; κ) 的 ℤ₂ℤ₄-线性码 C 的秩介于 γ + 2δ 与 γ + 2δ + 1 之间，且两个值均可实现。
• 此类码的核维数范围为 γ + 2δ - 2⌈(δ - 1)/2⌉ 至 γ + 2δ，且该区间内所有整数值均可实现。
• 对于区间 [γ + 2δ, γ + 2δ + 1] 内的每个可行秩 r，可通过在 ℤ₄ 上适当选择子矩阵的生成矩阵构造出具有该秩的 ℤ₂ℤ₄-线性码。
• 对于区间 [γ + 2δ - 2⌈(δ - 1)/2⌉, γ + 2δ] 内的每个可行核维数 k，可构造出具有该核维数的 ℤ₂ℤ₄-线性码。
• 在固定核维数 k 的前提下，ℤ₂ℤ₄-线性码的秩 r 的下界为 r_min = γ + 2δ - (2⌈(δ - 1)/2⌉ - k)，上界为 r_max = γ + 2δ + 1，且该区间内所有值均可实现。
• 对于每个有效的 (r, k) 对，可通过在规范生成矩阵形式中仔细选择 ℤ₄ 上的 S_{r,k} 子矩阵，显式构造出秩为 r 且核维数为 k 的 ℤ₂ℤ₄-线性码。