[论文解读] Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers

Alex Collins, Alexander W. N. Riasanovsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出一种计算方法，用于界定并计算 Zarankiewicz 数 $ z(b;s) $，即在避免 $ K_{s,s} $ 子图的 $ K_{b,b} $-自由二分图中，边数的最大值。利用该方法，作者确定了 $ 3 \leq s \leq 6 $ 时 $ z(b;s) $ 的新精确值和界，从而精确计算出此前未知的二分图 Ramsey 数 $ b(2,5) = 17 $，并得到紧致界 $ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $，其中唯一一种 2-着色方案验证了下界。

ABSTRACT

The Zarankiewicz number $z(b;s)$ is the maximum size of a subgraph of $K_{b,b}$ which does not contain $K_{s,s}$ as a subgraph. The two-color bipartite Ramsey number $b(s,t)$ is the smallest integer $b$ such that any coloring of the edges of $K_{b,b}$ with two colors contains a $K_{s,s}$ in the first color or a $K_{t,t}$ in the second color. In this work, we design and exploit a computational method for bounding and computing Zarankiewicz numbers. Using it, we obtain several new values and bounds on $z(b;s)$ for $3 \le s \le 6$. Our approach and new knowledge about $z(b;s)$ permit us to improve some of the results on bipartite Ramsey numbers obtained by Goddard, Henning and Oellermann in 2000. In particular, we compute the smallest previously unknown bipartite Ramsey number, $b(2,5)=17$. Moreover, we prove that up to isomorphism there exists a unique $2$-coloring which witnesses the lower bound $16<b></b>

研究动机与目标

• 开发一种计算方法，用于界定和计算 Zarankiewicz 数 $ z(b;s) $，即在不包含 $ K_{s,s} $ 子图的 $ K_{b,b} $ 子图中，边数的最大值。
• 利用 Zarankiewicz 数与二分图 Ramsey 数之间的联系，改进 $ 3 \leq s \leq 6 $ 时 $ z(b;s) $ 的界，并计算其精确值。
• 将改进后的 Zarankiewicz 数界应用于确定二分图 Ramsey 数的先前未知或更紧的界，特别是多色情形。
• 通过建立 $ b(2,2,3) $ 的紧致界，解决多色二分图 Ramsey 数中最小的开放情形。

提出的方法

• 作者设计了一种计算算法，系统性地搜索避免 $ K_{s,s} $ 子图的极值二分图，使用 $ K_{b,b} $ 的 0-1 矩阵表示来建模边集。
• 他们结合构造性搜索、对称性约简和剪枝技术，高效探索候选图并避免同构重复。
• 该方法利用 Zarankiewicz 数与二分图 Ramsey 数之间的对偶性：若 $ K_{b,b} $ 的边着色中无单色 $ K_{s,s} $，则每种颜色类的边数至多为 $ z(b;s) $。
• 他们实现了一种基于回溯法的搜索，结合约束传播，探索 0-1 矩阵的空间，在满足 $ K_{s,s} $-自由约束下优化边数的最大值。
• 该算法递归和迭代地应用，以改进 $ z(b;s) $ 的界，特别是针对 $ s = 3,4,5,6 $，以已知的理论界作为起点。
• 为验证结果，他们使用已知构造，并与现有文献比较，包括 Afzaly 和 McKay 关于 $ z(n;2) $（$ n \leq 31 $）的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ 3 \leq s \leq 6 $，Zarankiewicz 数 $ z(b;s) $ 的精确值和改进的上下界是什么？
• RQ2 计算方法如何用于收紧 $ z(b;s) $ 的界，特别是当 $ b $ 较大时？
• RQ3 能否利用改进后的 Zarankiewicz 数界来计算或收紧二分图 Ramsey 数，特别是 $ b(2,5) $？
• RQ4 最小的开放多色二分图 Ramsey 数 $ b(2,2,3) $ 是什么？能否建立紧致界？
• RQ5 是否存在唯一一种极值的 2-着色方案，对 $ K_{16,16} $ 避免第一种颜色的单色 $ K_{2,2} $ 和第二种颜色的单色 $ K_{5,5} $？

主要发现

• 本文精确计算出二分图 Ramsey 数 $ b(2,5) = 17 $，解决了此前未知的情形。
• 建立了紧致界 $ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $，目前这是多色二分图 Ramsey 数中最小的开放情形。
• 作者证明，同构意义下，存在唯一一种 $ K_{16,16} $ 的 2-着色方案，可避免第一种颜色的单色 $ K_{2,2} $ 和第二种颜色的单色 $ K_{5,5} $，从而确认了下界 $ b(2,5) > 16 $。
• 本研究为 $ 3 \leq s \leq 6 $ 提供了新的精确值和改进的 $ z(b;s) $ 界，包括 $ z(17;5) = 171^* $、$ z(18;5) = 192^\dagger $ 和 $ z(18;6) = 258 $，如表 5–7 所示。
• 该方法成功计算出此前未知的 Zarankiewicz 数，如 $ z(17;5) = 171 $、$ z(18;5) = 192 $ 和 $ z(18;6) = 258 $，星号和升号分别表示新结果或改进的界。
• 作者确认，基于 $ z(k^2 + k - 2; 2) $ 推导出的 $ b_5(2) $ 已知上界仍然有效，且 $ b_5(2) = 28 $ 的猜想仍为开放问题。