[论文解读] Zariski topologies on groups

Тарас Банах, Ігор Протасов|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了群上的Zariski拓扑 $τ_n = \mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$，其由群中群词与形式变量 $x$ 的余零集定义。证明了在无限群上，第2个Zariski拓扑永远不是离散的，构造了一个大小为连续统的群，使其在此拓扑下具有可数伪特征，并表明某些非可拓扑化的群具有离散的第665个Zariski拓扑，从而解决了关于 $τ_n$ 可能为离散的最小 $n$ 的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

The $n$-th Zariski topology on a group $G$ is generated by the sub-base consiting of the cozero sets of monomials of degree $\le n$ on $G$. We prove that for each group $G$ the 2-nd Zariski topology is not discrete and present an example of a group $G$ of cardinality continuum whose 2-nd Zariski topology has countable pseudocharacter. On the other hand, the non-topologizable group $G$ constructed by Ol'shanskii has discrete 665-th Zariski topology.

研究动机与目标

• 分析任意群 $G$ 上的 $n$-阶Zariski拓扑 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 的拓扑结构。
• 确定在哪些 $n$ 下，$n$-阶Zariski拓扑可以是离散的，特别是在无限群中。
• 研究第2个Zariski拓扑的伪特征及其与群基数的关系。
• 澄清 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 的离散性与 $G$ 的非可拓扑化性之间的关系。
• 解决关于 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 可能为离散的最小 $n$ 的开放问题。

提出的方法

• 第 $n$ 阶Zariski拓扑 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 由余零集 $\{x \in G : w(x) \neq 1\}$ 生成，其中 $w$ 取遍 $G$ 中次数 $\leq n$ 的单项式及变量 $x$。
• 通过自由积 $G[x] = G * \langle x \rangle$ 构造，将单项式解释为群词映射 $G \to G$，其中 $w(g)$ 表示在 $g \in G$ 处的取值。
• 为证明 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 非离散，作者假设该拓扑是离散的，并通过在可数子群上构造一个非离散的Hausdorff拓扑中的非孤立单位元，导出矛盾。
• 利用二叉树的自同构群 $\mathrm{Aut}(T)$ 作用于自由群 $F(T)$，构造了一个大小为连续统的群 $G$，以实现具有可数伪特征的第2个Zariski拓扑。
• 通过Ol’shanskii的构造，利用组合群论中的深刻结果，证明了在非可拓扑化群中存在离散的第665个Zariski拓扑。
• 论文使用归纳法和基数论证，构造了无限对称集 $X$，使得在假设 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 非离散的前提下，有 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个无限群 $G$，第2个Zariski拓扑 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 是否都是非离散的？
• RQ2 对于某些不可数群 $G$，伪特征 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]})$ 是否可以是可数的？
• RQ3 使得 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 对非可拓扑化群 $G$ 为离散的最小 $n$ 是多少？
• RQ4 对每个无限群 $G$，是否都有 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \log|G|$？
• RQ5 若 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 非离散，是否意味着存在一个无限对称集 $X$，使得对任意满足 $1 \notin A_0 \cdots A_n$ 的有限集 $A_0, \dots, A_n$，都有 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$？

主要发现

• 第2个Zariski拓扑 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 对任意无限群 $G$ 都不是离散的，通过在可数子群上构造非离散Hausdorff拓扑中的非孤立单位元，反证得证。
• 存在一个基数为连续统的群 $G$，使得伪特征 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) = \aleph_0$，表明下界 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \aleph_0$ 无法改进为 $|G|$。
• 对于Ol’shanskii构造的非可拓扑化群 $G$，第665个Zariski拓扑 $\mathfrak{Z}_{G^{665}[x]}$ 是离散的，表明 $n=665$ 在某些情况下足以实现离散性。
• 对任意无限群 $G$，若 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 非离散，则存在一个无限对称集 $X$，使得当 $1 \notin A_0 A_1 \cdots A_n$ 时，必有 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$。
• 第1个Zariski拓扑的伪特征满足 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{1}[x]}) = |G|$，对任意无限群 $G$；而第2个拓扑的伪特征至少为 $\aleph_0$，但对不可数群可恰好为 $\aleph_0$。
• 论文证实，若 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = |G|$，则该群是可拓扑化的，且对任意无限基数 $\kappa$，存在合适的可拓扑化群使得 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = \aleph_0$。