[论文解读] Zermelo navigation in pseudo-Finsler metrics

Miguel Ángel Javaloyes, Henrique Vitório|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文将泽尔梅洛导航问题推广至切从丛的锥域上的伪芬斯勒度量，引入了向量场 $W$ 对伪芬斯勒度量 $F$ 的平移，从而生成新的度量 $\hat{F}$。证明了当且仅当 $F$ 是半黎曼度量的平移时，马茨莫托张量为零；当 $W$ 为位似向量场时，$\hat{F}$ 的旗曲率与 $F$ 的旗曲率之差为一个非正的常数，且测地线通过 $W$ 的流相关联。该工作将经典结果推广至伪芬斯勒几何框架。

ABSTRACT

We generalize the notion of Zermelo navigation to arbitrary pseudo-Finsler metrics possibly defined in conic subsets. The translation of a pseudo-Finsler metric $F$ is a new pseudo-Finsler metric whose indicatrix is the translation of the indicatrix of $F$ by a vector field $W$ at each point, where $W$ is an arbitrary vector field. Then we show that the Matsumoto tensor of a pseudo-Finsler metric is equal to zero if and only if it is the translation of a semi-Riemannian metric, and when $W$ is homothetic, the flag curvature of the translation coincides with the one of the original one up to the addition of a non-positive constant. In this case, we also give a description of the geodesic flow of the translation.

研究动机与目标

• 将泽尔梅洛导航问题推广至定义在切从丛锥域上的伪芬斯勒度量。
• 定义并研究伪芬斯勒度量 $F$ 沿向量场 $W$ 的平移，生成新度量 $\hat{F}$ 的几何性质。
• 通过伪芬斯勒框架下马茨莫托张量的消失，刻画伪-兰德斯-克罗皮纳度量。
• 当 $W$ 为位似向量场时，建立度量 $F$ 与 $\hat{F}$ 的测地流与旗曲率之间的关系。
• 将关于兰德斯与克罗皮纳度量具有常旗曲率的已知结果推广至更广泛的伪芬斯勒框架。

提出的方法

• 定义伪芬斯勒度量 $F$ 沿向量场 $W$ 的平移，使得在每一点 $p \in M$，$\hat{F}$ 的指标集是 $F$ 的指标集沿 $W_p$ 的平移。
• 为锥形伪芬斯勒度量引入马茨莫托张量，调整经典定义以考虑度量张量的符号。
• 运用仿射微分几何技巧，证明锥形伪芬斯勒度量为伪-兰德斯-克罗皮纳型当且仅当其马茨莫托张量恒为零。
• 建立 $F$ 与 $\hat{F}$ 的勒让德变换之间的对偶关系，表明 $\hat{F}^*(\xi) = F^*(\xi) + W(\xi)$ 或 $\hat{F}^*(\xi) = -\tilde{F}^*(\xi) + W(\xi)$，具体取决于平移类型。
• 应用引理 5.13，关联 $F$ 与 $\hat{F}$ 的共测地流，证明当 $W$ 为位似向量场时，有 $\hat{\gamma}(t) = \psi_t^W(\gamma(f(t)))$，其中 $f(t) = (e^{\sigma t} - 1)/\sigma$（$\sigma \neq 0$），$f(t) = t$（$\sigma = 0$）。
• 推导出旗曲率关系式 $K_{\hat{F}}(u, \Pi) = K_F(u/\hat{F}(u) - W, \tilde{\Pi}) - \frac{\sigma^2}{4}$，表明在位似平移下，曲率减少了一个非正的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，锥形伪芬斯勒度量等价于伪-兰德斯-克罗皮纳度量？其几何特征为何？
• RQ2 在伪芬斯勒框架下，马茨莫托张量的行为如何？其消失意味着度量结构的何种几何含义？
• RQ3 当 $W$ 为位似向量场时，伪芬斯勒度量 $F$ 与其平移度量 $\hat{F}$ 的测地流之间存在何种关系？
• RQ4 在位似平移下，$\hat{F}$ 的旗曲率与 $F$ 的旗曲率之间有何关系？其数量差异为何？
• RQ5 能否通过导航方法将关于兰德斯与克罗皮纳度量具有常旗曲率的结果推广至更广泛的伪芬斯勒度量类？

主要发现

• 锥形伪芬斯勒度量的马茨莫托张量恒为零，当且仅当该度量是半黎曼度量的平移。
• 当 $W$ 为位似向量场时，平移度量 $\hat{F}$ 的旗曲率等于在变换方向上计算的 $F$ 的旗曲率，再减去一个非正常数 $\frac{\sigma^2}{4}$。
• 度量 $\hat{F}$ 的单位速度测地线由 $\hat{\gamma}(t) = \psi_t^W(\gamma(f(t)))$ 给出，其中 $f(t) = \frac{e^{\sigma t} - 1}{\sigma}$（$\sigma \neq 0$），$f(t) = t$（$\sigma = 0$），且 $\gamma$ 是 $F$ 的测地线。
• 若 $F$ 是测地完备的，且 $W$ 是完备的位似向量场，则 $\hat{F}$ 也是测地完备的。
• $F$ 与 $\hat{F}$ 的勒让德对偶关系为 $\hat{F}^*(\xi) = F^*(\xi) + W(\xi)$ 或 $\hat{F}^*(\xi) = -\tilde{F}^*(\xi) + W(\xi)$，具体取决于平移为正向或反向。
• 所有具有常旗曲率的伪-兰德斯-克罗皮纳度量均可表示为常截面曲率的半黎曼度量沿位似向量场的平移，且此类度量在整个流形上均为测地完备。