[论文解读] Zero Assignment in Multivariable System Using Pole Assignment Method

Ye. M. Smagina|ArXiv.org|Jul 11, 2002

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过状态反馈将零点分配问题转化为描述器系统或常规系统中的极点分配问题，建立了线性多变量系统中零点分配问题与极点分配问题之间的数学等价性。关键贡献在于证明了任意零点分配可实现当且仅当对应的极点分配可解，其可解性条件基于系统的可控性以及所分配零点与系统特征值不重合。

ABSTRACT

In the paper we consider the invariant zero assignment problem in a linear multivariable system with several inputs/outputs by constructing a system output matrix. The problem is reduced to the pole assignment problem by a state feedback (modal control) in a descriptor system or a regular one. It is shown that the zero assignment and pole assignment are mathematically equivalent problems.

研究动机与目标

• 为解决多变量系统中不变零点的分配问题，通过设计输出矩阵 H 来实现。
• 通过聚焦于分配完整的零多项式 ψ(s) 而非单个分子多项式，简化罗森布鲁斯特（Rosenbrock）复杂的零点分配条件。
• 建立零点分配问题与极点分配问题之间的直接数学等价性。
• 以系统对 (A, B) 和 A 的特征结构为基础，提供零点分配问题的可解性条件。

提出的方法

• 通过非奇异状态变换将原系统转化为描述器系统，使输入矩阵 B 简化为块对角形式，且右下角块可逆。
• 应用严格系统等价变换，保持有限与无限零点不变，同时将系统矩阵 P(s) 重组为结构化形式。
• 通过将输出矩阵 H 视为反馈增益矩阵，将零点分配问题转化为变换后描述器系统中的极点分配问题。
• 利用变换后系统矩阵的行列式与零多项式 ψ(s) 的等价性，将零点分配与极点配置联系起来。
• 通过状态反馈求解所得极点分配问题，利用 (A,B) 对的可控性以及所分配零点与 A 的特征值不重合的条件。
• 通过逆变换从反馈增益重构原始输出矩阵 H，确保 (A,H) 的可观测性及零点的正确配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过系统变换与反馈设计，多变量系统中的零点分配问题能否被简化为极点分配问题？
• RQ2 使用输出矩阵 H 实现任意零点分配的必要且充分条件是什么？
• RQ3 在线性多变量系统中，零点分配问题与极点分配问题之间是否存在数学等价性？
• RQ4 零点分配问题的可解性如何以系统对 (A, B) 和 A 的特征结构来表征？
• RQ5 在何种条件下，存在输出矩阵 H，使得所得系统既可观测，又具有预设的零多项式 ψ(s)？

主要发现

• 零点分配问题在数学上等价于描述器系统中的极点分配问题，从而可应用已有的极点分配技术。
• 对于 r = l（方阵系统），当所分配零多项式的次数 μ ≤ n−r 时，零点分配等价于在降阶的常规系统中进行极点分配。
• 若系统 (A,B) 可控且所分配零点不与 A 的任意特征值重合，则零点分配问题的可解性得到保证。
• 本文提供了一种构造性方法，通过将问题转化为描述器系统中的极点分配问题，并利用状态反馈求解，从而计算输出矩阵 H。
• 只要所分配零点不与 A 的特征值重合，该方法可确保 (A,H) 的可观测性。
• 数值示例验证了该方法的正确性：通过所提出的变换与反馈设计计算出 H 后，系统矩阵 P(s) 的行列式与预设的零多项式 ψ(s) 完全匹配。