[论文解读] Zero-error communication over adder MAC

Yuzhou Gu|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Wireless Communication Security Techniques参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了在无噪声加法器多址接入信道上使用 $B_h$-码的零误差通信，其中用户共享一个单一码书，接收端必须唯一识别出所发送码字的多重集。作者分析了不同分布下的随机编码方法及其列表解码变体，证明改变底层分布不会提高速率，并确定了 $B_h$-码及其列表解码版本通过随机编码可实现的精确速率，同时研究了西顿集中的 R\'enyi 熵性质。

ABSTRACT

Adder MAC is a simple noiseless multiple-access channel (MAC), where if users send messages $X_1,\ldots,X_h\in \{0,1\}^n$, then the receiver receives $Y = X_1+\cdots+X_h$ with addition over $\mathbb{Z}$. Communication over the noiseless adder MAC has been studied for more than fifty years. There are two models of particular interest: uniquely decodable code tuples, and $B_h$-codes. In spite of the similarities between these two models, lower bounds and upper bounds of the optimal sum rate of uniquely decodable code tuple asymptotically match as number of users goes to infinity, while there is a gap of factor two between lower bounds and upper bounds of the optimal rate of $B_h$-codes. The best currently known $B_h$-codes for $h\ge 3$ are constructed using random coding. In this work, we study variants of the random coding method and related problems, in hope of achieving $B_h$-codes with better rate. Our contribution include the following. (1) We prove that changing the underlying distribution used in random coding cannot improve the rate. (2) We determine the rate of a list-decoding version of $B_h$-codes achieved by the random coding method. (3) We study several related problems about Rényi entropy.

研究动机与目标

• 为 $h \geq 3$ 的 $B_h$-码最优速率已知上下界之间的差距（目前相差两倍）提供闭合。
• 研究在随机编码中修改底层概率分布是否能提高 $B_h$-码的可实现速率。
• 确定在随机编码下 $B_h$-码的列表解码变体所实现的速率。
• 研究加性组合数学中的 R\'enyi 熵性质，特别是西顿集中的性质，以更好地理解 $B_h$-码的结构。

提出的方法

• 分析在 $\{0,1\}^n$ 上使用一般概率分布的 $B_h$-码的随机编码速率，证明在均匀分布下速率最大。
• 推导在随机编码下 $B_h$-码的列表解码版本的速率，表明其速率严格小于标准 $B_h$-码的速率。
• 使用 R\'enyi 熵分析集合的加性结构，特别关注 $H_\alpha(X+X)$（$\alpha$-R\'enyi 熵）及其在西顿集上的分布最大化问题。
• 证明当 $\alpha \leq \alpha_*$（约 1.29856）时，R\'enyi 熵 $H_\alpha(X+X)$ 在西顿集上的均匀分布下达到最大值。
• 应用变分法分析熵函数，确定导数的单调性，表明当 $\alpha > \alpha^*$ 时，非均匀分布可能优于均匀分布。
• 通过小西顿集的显式反例，证明当 $\alpha > \alpha^*$（约 3.65986）时，均匀分布不能使 R\'enyi 熵 $H_\_\alpha(X+X)$ 最大化，从而推翻了 Ajjanagadde 的一个猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机编码中改变底层分布是否能将 $B_h$-码的速率提升至超过均匀分布的情况？
• RQ2 随机编码下 $B_h$-码的列表解码变体可实现的精确速率是多少？
• RQ3 对于哪些 $\alpha$ 值，R\'enyi 熵 $H\_\alpha(X+X)$ 在西顿集上的均匀分布下达到最大？
• RQ4 在所有 $\alpha > 0$ 的情况下，均匀分布是否始终在西顿集中最大化 $H_\_\alpha(X+X)$，还是存在例外？
• RQ5 集合的加性结构（如西顿性质）与卷积下 R\'enyi 熵行为之间有何关系？

主要发现

• 在 $B_h$-码的随机编码中改变底层分布不会提高可实现速率；均匀分布可实现最优速率。
• 通过随机编码实现的 $B_h$-码的列表解码版本的速率严格小于标准 $B_h$-码的速率，表明列表大小与速率之间存在权衡。
• 当 $\alpha \leq \alpha_* \approx 1.29856$ 时，R\'enyi 熵 $H_\alpha(X+X)$ 在任意西顿集上的均匀分布下达到最大。
• 当 $\alpha > \alpha^* \approx 3.65986$ 时，存在西顿集使得 R\'enyi 熵 $H_\_\alpha(X+X)$ 不能在均匀分布下达到最大，从而推翻了 Ajjanagadde 的一个猜想。
• 尽管有新构造，$B_h$-码的最优速率仍被限制在 $ (1+o(1)) \frac{\log h}{2h} $，且对 $h \geq 3$，已知上下界之间的差距仍为两倍。
• 该分析确认了 Poltyrev 的随机编码构造对 $B_h$-码实现了 $ (1+o(1)) \frac{1}{4} \frac{\log h}{h} $ 的速率，这是 $h \geq 3$ 时目前最佳的已知下界。