[论文解读] Zero-free regions of partition functions with applications to algorithms and graph limits

Guus Regts|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 52被引用 15

一句话总结

本文建立了有界度图上边着色模型的划分函数的非零区域，通过巴尔维诺克方法实现了准多项式时间近似方案。证明了在边着色模型参数满足特定条件时，划分函数非零且可高效近似，其应用涵盖图多项式（如图灵多项式）以及在本杰明-施拉姆收敛下的连续性。

ABSTRACT

Based on a technique of Barvinok and Barvinok and Sober\\'on we identify a class of edge-coloring models whose partition functions do not evaluate to zero on bounded degree graphs. Subsequently we give a quasi-polynomial time approximation scheme for computing these partition functions. As another application we show that the normalised partition functions of these models are continuous with respect the Benjamini-Schramm topology on bounded degree graphs. We moreover give quasi-polynomial time approximation schemes for evaluating a large class of graph polynomials, including the Tutte polynomial, on bounded degree graphs.

研究动机与目标

• 确定边着色模型划分函数在有界度图上不为零的条件。
• 利用巴尔维诺克的非零区域技术，为这些划分函数开发准多项式时间近似算法。
• 建立此类模型在本杰明-施拉姆拓扑下归一化划分函数的连续性。
• 将近似框架扩展至包括图灵多项式和匹配多项式在内的广泛图多项式类。
• 为稀疏图序列的高效计算及其极限提供理论基础。

提出的方法

• 应用巴尔维诺克识别划分函数多项式在复平面上非零区域的技术。
• 在这些非零区域内使用划分函数对数的低阶泰勒近似。
• 建立边着色模型的充分条件：|h(α) - 1| ≤ β/(Δ+1)，其中 β > 0.35 且 |α| ≤ Δ，确保最大度为 Δ 的图上划分函数不为零。
• 通过基于片段的分解和莫比乌斯反演，将划分函数的计算简化为子图计数（ind(H,G)）的线性组合。
• 利用张量网络和边着色模型的结构，将结果推广至标准顶点着色模型之外。
• 使用 zeta 矩阵及其逆矩阵，将片段计数（ind*(F,G)）表示为子图计数（ind(H',G)）的线性组合，实现算法化约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种边着色模型条件下，划分函数在所有最大度为 Δ 的图上保证非零？
• RQ2 能否通过非零区域分析，为边着色模型的划分函数构造准多项式时间近似方案？
• RQ3 此类模型的归一化对数划分函数是否关于本杰明-施拉姆拓扑连续？
• RQ4 该框架能否扩展至在有界度图上近似包括图灵多项式和匹配多项式在内的广泛图多项式类？
• RQ5 这些划分函数的非零区域的精确结构是什么？能否在当前球形边界的范围内进一步改进？

主要发现

• 对任意 Δ ∈ ℕ，存在 β > 0.35，使得若对所有满足 |α| ≤ Δ 的 α ∈ ℕᵏ，均有 |h(α) - 1| ≤ β/(Δ+1)，则对所有最大度不超过 Δ 的图 G，有 p(G)(h) ≠ 0。
• 此类边着色模型的划分函数可在任意期望精度下实现准多项式时间近似。
• 在有界度图上，划分函数的归一化对数关于本杰明-施拉姆拓扑连续。
• 已建立图灵多项式和匹配多项式在有界度图上的准多项式时间近似方案。
• 大小至多为 (Δ+1)m 的子图数量可用于表达片段计数，通过莫比乌斯反演实现向子图计数的约化。
• 该方法可推广至张量网络，并为近似广泛类别的 Holant 问题提供框架。