[论文解读] Zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski 3-space

Shoichi Fujimori, Yu Kawakami+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中构造了新的实解析零平均曲率全图族，其因果类型为混合型，扩展了小林此前已知的例子。作者利用极大曲面理论与全纯数据的技术，提出了一个针对 n≥3 的 4n−7 参数族类空极大曲面，以及针对 n=2 的 3 参数族，这些曲面包含此前已知的图，并在跨折叠奇点进行解析延拓后，生成全零平均曲率图。

ABSTRACT

It is classically known that the only zero mean curvature entire graphs in the Euclidean 3-space are planes, by Bernstein's theorem. A surface in Lorentz-Minkowski 3-space $\boldsymbol{R}^3_1$ is called of mixed type if it changes causal type from space-like to time-like. In $\boldsymbol{R}^3_1$, Osamu Kobayashi found two zero mean curvature entire graphs of mixed type that are not planes. As far as the authors know, these two examples were the only known examples of entire zero mean curvature graphs of mixed type without singularities. In this paper, we construct several families of real analytic zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski $3$-space. The entire graphs mentioned above lie in one of these classes.

研究动机与目标

• 在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中构造新的混合因果类型全零平均曲率图族，且非平面。
• 通过引入针对 n≥3 的 4n−7 参数族和针对 n=2 的 3 参数族，扩展此前仅限于两个例子的此类图族。
• 证明某些具有折叠型奇点的类空极大曲面可进行解析延拓，作为适当浸入，从而生成全图。
• 证明欧几里得3维空间中的Scherk型鞍塔曲面可通过解析延拓在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中成为全图。
• 在单一的‘小林曲面’（order n）框架下，统一并推广此前的结果，包括小林与Sergienko-Tkachev的工作。

提出的方法

• 利用广义Weierstrass表示，建立洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中极大曲面与全纯数据之间的对应关系。
• 对每个 n≥3 构造一个 4n−7 参数族的零亏格类空极大曲面，其仅含折叠型奇点；对 n=2 构造一个 3 参数族。
• 应用先前工作[5]中的技术，证明这些曲面的某些子集可在折叠奇点处进行解析延拓，作为适当浸入。
• 通过分析参数域中边界序列处坐标函数的发散性，证明所得参数化映射的单射性与适当性。
• 利用广义自反与反自反多项式，以及切比雪夫多项式恒等式，分析全纯数据的结构。
• 证明在奇点处进行解析延拓后，所得曲面成为全图 t=λ(x,y)，且平均曲率为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中构造出超越已知两个例子的新族混合因果类型全零平均曲率图？
• RQ2 具有折叠型奇点的极大曲面是否可进行解析延拓，从而生成全零平均曲率图？
• RQ3 欧几里得3维空间中的Scherk型鞍塔曲面能否在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中作为全图进行延拓？
• RQ4 此类全图的参数空间维数（模合同与位似变换）是多少？
• RQ5 新构造的曲面与先前已知的小林曲面及其几何性质有何关联？

主要发现

• 作者为每个整数 n≥3 构造了一个 (4n−7) 参数族的混合类型零平均曲率全图，模合同与位似变换。
• 对于 n=2，构造了一个 3 参数族的此类全图，其中包含小林此前已知的两个例子：λ(x,y)=x tanh(2y) 和 λ(x,y)=log(cosh x / cosh y)。
• 证明这些图所对应的极大曲面可在折叠奇点处进行解析延拓，作为适当浸入，从而生成全图。
• Karcher [11] 和 [13] 中的Scherk型鞍塔曲面在洛伦兹-闵可夫斯基3维空间中通过解析延拓成为全图，其中 n=2 情况与小林的第二个例子一致。
• 该构造依赖于‘小林曲面’（order n）的一般框架，该框架统一了已知例子，并为系统性生成新例子提供了方法。
• 通过证明参数域中边界序列处某些坐标函数的发散性，确立了所得图的适当性。