[论文解读] Zero-Mode Problem on the Light Front

Koichi Yamawaki|ArXiv.org|Feb 6, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 29

一句话总结

本文通过提出离散光锥量化（DLCQ）来解决光锥量化中的零模问题，以实现平凡真空，从而通过Nambu-Goldstone（NG）玻色子的奇异零模行为实现自发对称性自发破缺（SSB）。关键结果表明，光锥上的SSB并非通过标准的NG定理实现，而是通过非守恒的光锥电荷和奇异零模动力学实现，洛伦兹对称性仅能在S矩阵层面恢复，而无法在福克空间或算符形式中恢复。

ABSTRACT

A series of lectures are given to discuss the zero-mode problem on the light-front (LF) quantization with special emphasis on the peculiar realization of the trivial vacuum, the spontaneous symmetry breaking (SSB) and the Lorentz invariance. We discuss Discrete Light-Cone Quantization (DLCQ) which was first introduced by Maskawa and Yamawaki (MY). Following MY, we present canonical formalism of DLCQ and the zero-mode constraint through which the zero mode can actually be solved away in terms of other modes,thus establishing the trivial vacuum. Due to this trivial vacuum, existence of the massless Nambu-Goldstone (NG) boson coupled to the current is guaranteed by the non-conserved charge such that Q |0> = 0 and dot{Q} ne 0. The SSB (NG phase) in DLCQ can be realized on the trivial vacuum only when an explicit symmetry-breaking mass of the NG boson m_{pi} is introduced so that the NG-boson zero mode integrated over the LF exhibits singular behavior sim 1/m_{pi}^2 in such a way that dot{Q} ne 0 in the symmetric limit m_{pi} -> 0. We also demonstrate this realization more explicitly in the linear sigma model where the role of zero-mode constraint is clarified. We fur ther point out, in disagreement with Wilson et al., that for SSB in the continuum LF theory, the trivial vacuum collapses due to the special nature of the zero mode as the accumulating point P^+ -> 0, in sharp contrast to DLCQ. Finally, we discuss the no-go theorem of Nakanishi and Yamawaki, which forbids exact LF r estriction of the field theory. Thus DLCQ as well as any other regularization on the exact LF has no Lorentz-invariant limit as the theory itself, although the Lorentz-invariant limit can be realized on the c-number quantity like S matrix which has no reference to the fixed LF.

研究动机与目标

• 为解决光锥量化中的零模问题，该问题阻碍了对非微扰动力学至关重要的平凡真空的实现。
• 在不依赖传统Nambu-Goldstone定理的前提下，建立光锥上自发对称性破缺（SSB）的机制。
• 阐明尽管存在平凡真空和非守恒的光锥电荷，Nambu-Goldstone玻色子如何在DLCQ中出现。
• 研究精确光锥理论中洛伦兹对称性的破缺及其在S矩阵层面恢复的条件。
• 考察零模约束在非微扰动力学中的作用及其对连续极限的影响。

提出的方法

• 引入离散光锥量化（DLCQ）作为正则化方案，通过零模约束方程将零模从物理福克空间中隔离。
• 推导DLCQ的正则形式，表明零模通过约束与其它模耦合，从而从物理希尔伯特空间中消除。
• 以线性σ模型作为具体场论，通过微扰方法显式求解零模约束，并在DLCQ中展示SSB。
• 分析光锥电荷动力学，表明在 $ m_\pi \to 0 $ 极限下，由于NG玻色子零模具有 $ \sim 1/m_\pi^2 $ 的奇异行为，导致 $ \dot{Q} \neq 0 $。
• 应用Nakanishi和Yamawaki的无解定理，证明洛伦兹不变场论无法在光锥上一致地限制，从而导致非洛伦兹不变的福克空间和动力学。
• 证明即使底层理论不显式具有洛伦兹不变性，洛伦兹对称性仍可通过微扰动力学在S矩阵层面恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何解决光锥量化中的零模问题以实现平凡真空？
• RQ2 在光锥上如何实现自发对称性破缺（SSB）而不依赖标准的Nambu-Goldstone定理？
• RQ3 Nambu-Goldstone玻色子零模的奇异行为在DLCQ中确保无质量NG模存在的作用是什么？
• RQ4 为何在连续光锥场论中，平凡真空在 $ p^+ \to 0 $ 时模式累积下会崩溃，而DLCQ中不会？
• RQ5 洛伦兹对称性是否能在光锥场论中恢复？若能，是在哪个层次（福克空间 vs. S矩阵）？

主要发现

• DLCQ中的零模约束使得零模可表示为其他模的函数，从而将其从物理福克空间中移除，建立平凡真空。
• DLCQ中的自发对称性破缺并非通过 $ Q|0\rangle \neq 0 $ 实现，而是通过 $ \dot{Q} \neq 0 $ 和NG玻色子零模在 $ m_\pi \to 0 $ 极限下的 $ \sim 1/m_\pi^2 $ 奇异行为实现。
• 在光锥上NG定理不适用；相反，奇异零模行为作为动力学残余，确保了无质量NG玻色子的存在。
• 在连续光锥场论中，由于 $ p^+ \to 0 $ 时模式累积，平凡真空会崩溃，导致零模无法作为单一实体被控制。
• 无解定理禁止将洛伦兹不变场论限制到光锥上，这意味着DLCQ及类似框架无法在福克空间或算符形式中恢复洛伦兹对称性。
• 洛伦兹对称性仅能通过微扰动力学在S矩阵层面恢复，此时S矩阵保持洛伦兹不变，尽管福克空间和哈密顿量不具有洛伦兹不变性。