[论文解读] Zero Mode Tunnelling in a Fractional Quantum Hall Device

Stephanie Jane Huntington, Vadim Cheianov|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Quantum and electron transport phenomena参考文献 3被引用 4

一句话总结

本论文通过蒙特卡罗模拟研究了ν=1/3分数量子霍尔边缘态中的零模隧穿效应，对比了微观计算的隧穿矩阵元与有效Luttinger液体理论的结果。研究发现，只有非正规排序的隧穿哈密顿量能准确匹配数值结果，证实了在所有物理上相关的系统尺寸下，准粒子隧穿主导于电子隧穿。

ABSTRACT

Tunnelling measurements on fractional quantum Hall systems are continuing to increase in popularity since they provide a method to probe the non-Fermi liquid behaviour of fractionally charged excitations occupying the edge states of a quantum Hall system. When considering tunnelling one must resort to an effective theory and typically a phenomenological tunnelling Hamiltonian is used analogous to that used for a conventional Luttinger liquid. It is the form of this tunnelling Hamiltonian that is investigated in this work by making a comparison to an exact microscopic calculation of the zero mode tunnelling matrix elements. The computation is performed using Monte Carlo and results were obtained for various system sizes for the $ν=1/3$ Laughlin state. Here we also present a solution to overcome the phase problem experienced in Monte Carlo calculations using Laughlin-type wavefunctions. Comparing the system size dependence of the microscopic and phenomenological calculations for the tunnelling matrix elements, it was found that only for a particular type of operator ordering in the tunnelling Hamiltonian was it possible to make a good match to the numerical calculations. From the Monte Carlo data it is also clear that for any system size the electron tunnelling is always less relevant than the quasiparticle tunnelling process, supporting the idea that when considering tunnelling at a weak barrier, the electron tunnelling process can be neglected.

研究动机与目标

• 检验有效Luttinger液体隧穿哈密顿量在描述ν=1/3分数量子霍尔态中零模隧穿效应时的有效性。
• 解决在计算隧穿矩阵元时，Laughlin型波函数蒙特卡罗模拟中的相位问题。
• 确定隧穿哈密顿量中哪种算符排序方式最符合微观计算的隧穿矩阵元。
• 评估在不同系统尺寸下，电子隧穿与准粒子隧穿过程的相对重要性。

提出的方法

• 针对ν=1/3 Laughlin态，使用蒙特卡罗方法进行了零模隧穿矩阵元的精确微观计算。
• 通过累积量展开法（χ ≤ 1时）和绝对值重构法（χ = ν⁻¹ = 3时）克服了蒙特卡罗模拟中的相位问题。
• 通过数值积分微观哈密顿量（涉及准粒子与电子算符）计算了隧穿矩阵元⟨V⟩_χ。
• 将⟨V⟩_χ的系统尺寸依赖性与基于两种算符排序方案（正规排序与非正规排序）的有效理论预测进行比较。
• 采用有限尺寸标度法外推结果，并比较电子与准粒子隧穿过程的相对重要性。
• 应用受重整化群启发的标度分析，通过指数dln⟨A⟩/dlnN确定隧穿过程的相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ν=1/3分数量子霍尔系统中，哪种形式的隧穿哈密顿量——正规排序或非正规排序——最能再现微观隧穿矩阵元？
• RQ2 在Laughlin态中，电子隧穿与准粒子隧穿的相对重要性如何随系统尺寸变化？
• RQ3 能否克服Laughlin波函数蒙特卡罗模拟中复数隧穿矩阵元的相位问题？
• RQ4 与精确的微观计算相比，有效Luttinger液体理论是否能准确描述分数量子霍尔边缘态中的零模隧穿？
• RQ5 在ν=1/3 Laughlin态中，准粒子与电子过程的隧穿矩阵元的系统尺寸依赖性如何？

主要发现

• 仅非正规排序的隧穿哈密顿量与蒙特卡罗计算的系统尺寸依赖性良好匹配。
• 电子隧穿的标度指数为dln⟨A₃⟩/dlnN = -3.00，表明其随系统尺寸增大而强烈抑制。
• 准粒子隧穿的标度指数为dln⟨A₁⟩/dlnN = -3.03 ± 0.09，证实其在所有系统尺寸下均主导于电子隧穿。
• 在所有物理上可实现的系统尺寸（N ≥ 1）下，电子隧穿过程的相对重要性低于准粒子隧穿，支持其在弱势垒模型中可被忽略。
• 电子与准粒子隧穿曲线的交点出现在N < 1处，确认在真实系统中电子隧穿无关紧要。
• 使用非正规排序算符可得到物理上行为良好、与系统尺寸无关的相关函数，验证了模型的局域性。