[论文解读] Zero product preservers of C*-algebras

Ngai‐Ching Wong|ArXiv.org|Aug 28, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文研究了C*-代数之间保持零乘积的有界线性映射，表明当此类映射保持自伴元素的零乘积时，会诱导出Jordan同态。关键结果是：两个C*-代数作为Jordan代数同构，当且仅当它们之间存在一个双射的零乘积保持映射；若该映射保持完整的零乘积结构，则它们作为C*-代数同构。

ABSTRACT

Let T be be a zero-product preserving bounded linear map between C*-algebras A and B. Here neither A nor B is necessarily unital. In this note, we investigate when T gives rise to a Jordan homomorphism. In particular, we show that A and B are isomorphic as Jordan algebras if T is bijective and sends zero products of self-adjoint elements to zero products. They are isomorphic as C*-algebras if T is bijective and preserves the full zero product structure.

研究动机与目标

• 确定C*-代数之间保持零乘积的映射在何种条件下诱导出Jordan同态或代数同构。
• 将先前关于单位C*-代数的结果推广至非单位情形。
• 以Jordan同构和代数同构的角度刻画双射的零乘积保持映射。
• 建立d-同构概念，证明其与C*-代数的*-同构等价。

提出的方法

• 使用双对偶映射θ**将零乘积保持性从A_sa扩展至M(A)_sa。
• 应用弱*连续性，将零乘积保持性扩展至乘子代数。
• 利用自伴元素及其平方根的结构，推导出涉及θ(a)θ(b)=0的恒等式。
• 利用中心支撑投影及M(A)_sa中的网逼近方法处理非单位代数。
• 将Brešar与Akemann-Pedersen的结果适配至非单位情形。
• 证明θ(1)在M(B)中可逆且中心化，从而实现分解θ = θ(1)φ，其中φ为满代数同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，C*-代数之间的零乘积保持映射会诱导出Jordan同态？
• RQ2 在何种条件下，C*-代数之间双射的零乘积保持映射是Jordan代数的同构？
• RQ3 在何种条件下，此类映射会诱导出C*-代数同构而非仅Jordan同构？
• RQ4 单位或单位元的存在如何影响零乘积保持映射的结构？
• RQ5 d-同构与C*-代数中的*-同构之间存在何种关系？

主要发现

• 若A与B是C*-代数，且有界线性映射θ: A → B保持自伴元素的零乘积并为双射，则θ是Jordan同态。
• 两个C*-代数作为Jordan代数同构，当且仅当存在一个保持自伴元素零乘积的双射有界线性映射。
• 若θ是双射且保持完整的零乘积结构（即ab=0 ⇒ θ(a)θ(b)=0），则A与B作为C*-代数同构。
• 映射θ(1)在M(B)中是中心化且可逆的，从而可实现分解θ = θ(1)φ，其中φ为满代数同态。
• d-同构（通过零乘积保持性定义）与C*-代数的*-同构等价。
• 通过使用乘子代数与双对偶扩展，本研究将先前关于单位C*-代数的结果推广至非单位情形。