[论文解读] Zero range potential for particles interacting via Coulomb potential: application to electron positron annihilation

S. L. Yakovlev, V. A. Gradusov|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Muon and positron interactions and applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过求解Lippmann-Schwinger型积分方程，为两个通过库仑势相互作用的粒子构建了一个数学上严格的零范围势，推导出波函数在原点处的精确渐近行为。所得的赝势使得在非相对论性薛定谔方程中能够对电子-正电子湮灭过程进行微扰处理，同时将光学定理推广至包含库仑力和虚吸收势的情形，为湮灭截面的建模提供了坚实基础。

ABSTRACT

The zero range potential is constructed for a system of two particles interacting via the Coulomb potential. The singular part of the asymptote of the wave function at the origin which is caused by the common effect of the zero range potential singularity and of the Coulomb potential is explicitly calculated by using the Lippmann-Schwinger type integral equation. The singular pseudo potential is constructed from the requirement that it enforces the solution to the Coulomb Schrödinger equation to possess the calculated asymptotic behavior at the origin. This pseudo potential is then used for constructing a model of the imaginary absorbing potential which allows to treat the annihilation process in positron electron collisions on the basis of the non relativistic Schrödinger equation. The functional form of the pseudo potential constructed in this paper is analogous to the well known Fermi-Breit-Huang pseudo potential. The generalization of the optical theorem on the case of the imaginary absorbing potential in presence of the Coulomb force is given in terms of the partial wave series.

研究动机与目标

• 为具有库仑相互作用的两体系统构建一个数学上一致的零范围势。
• 推导在短距离下波函数的精确渐近行为，同时考虑库仑和零范围奇异性。
• 构建一个能强制实现原点处正确奇异性边界条件的赝势。
• 将该赝势应用于非相对论框架下电子-正电子湮灭的建模。
• 将光学定理推广至包含库仑力和虚吸收势的系统。

提出的方法

• 求解Lippmann-Schwinger积分方程，以确定库仑相互作用体系在 r → 0 时波函数奇异渐近形式。
• 推导出赝势 W_s(r)，使得含此势的薛定谔方程能重现原点处正确的奇异波函数行为。
• 将赝势的δ函数形式用作湮灭过程的模型，并进行微扰处理。
• 引入虚吸收势形式的赝势以模拟正电子-电子湮灭。
• 应用部分波分解，并从散射振幅的虚部推导出湮灭截面。
• 将光学定理推广至包含库仑势和虚吸收势的情形，以波函数在原点的值表示湮灭率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有长程库仑相互作用的体系一致地构造零范围势？
• RQ2 当库仑和零范围奇异性同时存在时，波函数在原点的精确渐近行为是什么？
• RQ3 如何构建一个赝势以强制实现该奇异性边界条件？
• RQ4 所得到的赝势能否用于在非相对论性薛定谔方程中建模电子-正电子湮灭？
• RQ5 如何将光学定理推广至包含库仑力和虚吸收势的情形？

主要发现

• 通过Lippmann-Schwinger型积分方程推导出波函数在原点的奇异渐近行为，表明库仑势与零范围势的共同作用导致了修正的 1/r 奇异性。
• 赝势以 W_s(r) = δ(r) d/dr (r) 的形式构造，类似于Fermi-Breit-Huang势，确保正确边界条件被强制满足。
• 湮灭截面被推导为 σ_ann = -g/k |β|²，其中 β 与原点处波函数成正比，从而实现了对湮灭过程的微扰处理。
• 光学定理被推广为 σ_ann = -g/k |β|²，其中 β 通过波函数定义，确保在湮灭存在时的通量守恒一致性。
• 当虚吸收势被微扰处理时，其结果为δ函数形式，从而为原子中正电子湮灭模型中使用该形式提供了合理性。
• 推导证实光学定理的二阶修正项为零，验证了最终形式的湮灭截面的正确性。