[论文解读] Zero (sub)sets for spaces of holomorphic functions and (sub)harmonic minorants

Б. Н. Хабибуллин|ArXiv.org|Dec 18, 2004

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了单位圆盘中点列成为加权全纯函数空间（特别是经典的 Bergman 空间 $A^{-p}$）的零（子）集的必要且充分条件。通过使用 balayage、Green 函数和次调和下界函数，证明了此类点列由涉及 Green、Jensen 和 Arens–Singer 函数的 Berezin 变换的积分不等式所刻画，将 Luecking 的判别准则推广到了更广泛的函数空间类。

ABSTRACT

We obtain various general conditions in terms of the balayage and Green's functions under which the sequence of points is the zero set for weighted spaces of holomorphic functions in a domain on the complex plane.

研究动机与目标

• 确定单位圆盘中点列成为加权全纯函数空间零（子）集的必要且充分条件。
• 利用势论工具，将现有判别准则（特别是 Luecking 和 Korenblum–Seip 的）推广至 $A^{-p}$ 空间中的零集。
• 在全纯函数空间的背景下，统一并扩展次调和下界函数与 Jensen 测度的相关结果。
• 通过涉及 Green、Jensen 和 Arens–Singer 函数的 Berezin 变换的积分不等式，刻画零集。
• 提供一个适用于经典与加权全纯函数空间的框架，利用 balayage 和调和下界函数。

提出的方法

• 使用测度的 balayage 和 Arens–Singer 与 Jensen 测度的理论，分析次调和下界函数的存在性。
• 对子区域 $D \Subset \mathbb{D}$ 使用 Green 函数 $g_D(\cdot, 0)$ 构造满足下界条件的测试函数。
• 应用 Riesz 分解定理和次调和函数的拉普拉斯算子，将 Berezin 变换与零点的计数测度联系起来。
• 推导出一个关键不等式，涉及 $g_D(\zeta, 0)$ 对次调和函数 $K_\Lambda$ 的 Riesz 测度的积分，将其与 $M$ 的增长性联系起来。
• 利用 $M - K_\Lambda$ 存在调和下界函数与在所有 $D \in \mathcal{U}_0^d(\mathbb{D}; D(a))$ 上的上确界有限性之间的等价性。
• 应用 Luecking 的判别准则：当且仅当 $M_p - K_\Lambda$ 允许存在调和下界函数时，序列 $\Lambda$ 是 $A^{-p}$ 的零集，其中 $M_p$ 是径向权函数，$K_\Lambda$ 是 Berezin 类型的次调和函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，单位圆盘中的点列 $\Lambda$ 是加权空间 $\operatorname{Hol}(\mathbb{D}; M)$ 的零集？
• RQ2 如何通过涉及 Green 函数的积分不等式刻画 $M - K_\Lambda$ 存在调和下界函数的条件？
• RQ3 Green、Jensen 和 Arens–Singer 函数的 Berezin 变换与 $A^{-p}$ 中零集性质之间的精确关系是什么？
• RQ4 balayage 和次调和下界函数如何为不同函数空间中的零集刻画提供统一框架？
• RQ5 在 [GL]、[JL] 和 [ASL] 中的条件在多大程度上刻画了同一类零集？域 $D \in \mathcal{U}_0^d(\mathbb{D}; D(a))$ 的作用是什么？

主要发现

• 若 $0 \notin \Lambda$，则点列 $\Lambda = \{\lambda_k\}$ 是 $A^{-p}$ 的零集，当且仅当对所有 $D \in \mathcal{U}_0^d(\mathbb{D}; D(a))$，表达式 $$ \sum_k (1 - |\lambda_k|^2)^2 \left( \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{D}} \frac{g_D(\zeta, 0)}{|1 - \lambda_k \overline{\zeta}|^4} d m(\zeta) \right) - p \widehat{\kappa}(g_D(\cdot, 0)) $$ 的上确界有限。
• 通过 $K_\Lambda$ 的 Riesz 测度和拉普拉斯算子，建立了零集条件与 $M_p - K_\Lambda$ 存在调和下界函数之间的等价性，其中 $K\_\Lambda(z) = \frac{|z|^2}{2} \sum_k \frac{(1 - |\lambda_k|^2)^2}{|1 - \lambda_k \overline{z}|^2}$。
• 条件 $\int_r^{1^-} (1 - t) dM(t) = O(1 - r)$ 当 $r \to 1^-$ 时，确保了权函数 $M$ 与次调和下界函数的存在性相容。
• Green 函数 $g_D(\cdot, 0)$ 的 Berezin 变换作为关键积分不等式的核函数出现，将点列 $\Lambda$ 的几何结构与区域的势论结构联系起来。
• $\mathcal{P}_{AS}(\mathbb{D})$ 类的 Arens–Singer 函数包含 $\mathcal{P}_J(\mathbb{D})$，而 $\mathcal{P}_J(\mathbb{D})$ 又包含 Green 函数 $g_D(\cdot, 0)$，因此 [ASL]、[JL] 和 [GL] 条件的等价性可由此包含关系推出。
• 证明表明，条件 [GL] 蕴含 $M_p - K_\Lambda$ 存在调和下界函数，反之亦然，其依据是将定理 1.1 和定理 0.1 的次调和类比应用于测度 $\nu_{K_\Lambda}$。